《2016-2018年三年高考数学（理）真题分类专题07导数的应用含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2018年三年高考数学（理）真题分类专题07导数的应用含解析（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编1专题 07 导数的应用考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热 度1.导数与函数的单调性了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)理解选择题解答题2.导数与函数的极(最)值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)掌握解答题3.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题掌握选择题分析解读 1.会利用导数研究函数的单调性,掌握求函数单调区间的方法.2.
2、掌握求函数极值与最值的方法,解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题.3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点.分值为 1217 分,属于高档题.命题探究练扩展2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编22018 年高考全景展示1 【2018 年理数天津卷】已知函数，其中 a1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线 l，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】()单调递减区间，单调递增区间为；()证明见解析；()证明见解析.（III）由题意可得两条切线
3、方程分别为 l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，使得 l1和 l2重合.转化为当时，关于 x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的 x0，且 x00，使得，据此可证得存在实数 t，使得，则题中的结论成立.详解：（I）由已知，有.令，解得 x=0.由 a1，可知当 x 变化时，的变化情况如下表：x00+极小值2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编3所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（III）曲线在点处的切线 l1：.曲线在点处的切线 l2：.要证明当时，存在直线 l，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得 l1和 l2重合.即
4、只需证明当时，方程组有解，由得，代入，得. 因此，只需证明当时，关于 x1的方程存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的 x0，且 x00，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.因为，故，2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编4所以.下面证明存在实数 t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数 t，使得，因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线 l，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应
5、用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用2 【2018 年理北京卷】设函数=（）若曲线 y= f（x）在点（1，）处的切线与 轴平行，求 a；（）若在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围【答案】(1) a 的值为 1 (2) a 的取值范围是（ ，+）【解析】分析：（1）先求导数，再根据得 a；（2）先求导数的零
6、点：，2；再分类讨论，根据是否满足在 x=2 处取得极小值，进行取舍，最后可得 a 的取值范围详解：解：（）因为=，所以 f （x）=2ax（4a+1） ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex（xR）=ax2（2a+1）x+2exf (1)=(1a)e由题设知 f (1)=0，即(1a)e=0，解得 a=1此时 f (1)=3e0所以 a 的值为 12016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编5点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.3
7、 【2018 年江苏卷】记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“S 点” （1）证明：函数与不存在“S 点” ；（2）若函数与存在“S 点” ，求实数 a 的值；（3）已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S 点” ，并说明理由【答案】 （1）证明见解析（2）a 的值为 （3）对任意 a0，存在 b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点” 【解析】分析：（1）根据题中“S 点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得 a 的值；（3）通过构造函数以及结合 “S 点”的定义列两个方程
8、，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数 f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则 f（x）=1，g（x）=2x+2由 f（x）=g（x）且 f（x）= g（x） ，得，此方程组无解，因此，f（x）与 g（x）不存在“S”点（2）函数，则设 x0为 f（x）与 g（x）的“S”点，由 f（x0）与 g（x0）且 f（x0）与 g（x0） ，得2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编6，即， （*）得，即，则当时，满足方程组（*） ，即为 f（x）与g（x）的“S”点因此，a 的值为 （3）对任意 a0，设因为，且 h（x）的图象是不间断的，所以存在（0，1） ，使得，
9、令，则 b0函数，则由 f（x）与 g（x）且 f（x）与 g（x） ，得，即（*）此时，满足方程组（*） ，即是函数 f（x）与 g（x）在区间（0，1）内的一个“S 点” 因此，对任意 a0，存在 b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点” 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.4 【2018 年理新课标 I 卷】已知函数（1）讨论的单调性；（2）若
10、存在两个极值点，证明：【答案】 （1）当时，在单调递减.，当时， 在单调递减，在单调递增.（2）证明见解析.2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编7（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决
11、定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.2017 年高考全景展示1.【2017 课标课标 II，理，理 11】若是函数的极值点，则的极小值为（ ）2x 21( )(1)xf xxaxe( )f x2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编8A. B. C. D.1132e35e【答案】A【解析】试题分析：由题可得12121( )(2)(1)(2)1xxxfxxa exaxexaxae因为，所以，故( 2)0f 1a 21( )(1)xf xxxe21(
12、 )(2)xfxxxe令，解得或，所以在单调递增，在单调递减( )0fx2x 1x ( )f x(, 2),(1,) ( 2,1)所以极小值为，故选 A。( )f x 1 11(1 1 1)1fe 【考点】 函数的极值；函数的单调性【名师点睛】(1)可导函数 yf(x)在点 x0处取得极值的充要条件是 f(x0)0，且在 x0左侧与右侧 f(x)的符号不同。(2)若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。2.【2017 浙江，7】函数 y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数 y=f(x)的图像可能是( )yfx【答案
13、】D【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于 0，因此选 D【考点】 导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在x0x两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，0xx0x由导函数的正负，得出原函数的单调区间)( xf)(xf2016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编93.【2017 课标课标 II，理，理】已知函数，且。 2lnf xaxaxxx 0f x (1)求；a(2)证明：存在唯一的极大值点，且。 f x0x 22 02ef x【答案】(1)；(2)证明略
14、。1a 【解析】试题分析：(1)利用题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；1a (2)结合(1)的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不 22lnh xxx h x f x等式。 22 02ef x试题解析：（1）的定义域为。 fx0，+ 设，则，等价于。 lng xaxax f xxg x 0f x 0g x 因为，因，而，得。 10,0gg x 10g 1, 11gxagax1a 若，则。当时，单调递减；1a 11gxx 01x 0gx g x当时，单调递增。所以是的极小值点，故1x 0gx g x1x g x 10g xg综上，。1a （2）由（1）知 ，。 2lnf xxxxx 22lnfxxx设，则。 22lnh xxx 12hxx当 时， ；当 时， ，10,2x 0hx 1,2x 0hx 所以 在 单调递减，在 单调递增。 h x10,21,2又， ， 20h e102h 10h所以 在 有唯一零点，在 有唯一零点 1， h x10,20x1,22016-2018 三年高考数学真题分项整理汇编10且当 时， ；当 时， ，00,xx 0h x 0,1xx 0h x 当 时， 。1,x 0h x 因为 ，所以是的唯一极大值点。 fxh x0xx f x由得，故。 00fx00ln21xx 0001f xxx由 得 。00,1x
