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1、插 值 法 基 本 思 路 p张兴元p2011年8月Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年一元多项式插值p教学内容n插值问题n插值问题求解方法（重点）p线性插值p二次插值p n次插值p分段线性插值pHermite插值p分段三次Hermite插值p样条插值函数（难点）p要求n掌握以上方法的原理及其在MATLAB中的实现方法Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年插值问题1. 提法已知 n+1 个节点 (xj , yj)，j=0,1,，n，其中 xj 互不相同，不妨设a=x0x1xn=b，
2、求任一插值点 x*(xj) 处的插值 y*。(xj，yj)可以看成是由某个函数 y=g(x) 产生的，g 的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式，也可以未知。2、求解的基本思路构造一个相对简单的函数y=f(x)，使 f(x) 通过全部节点，即 f(xj)=yj（j=0,1,n），再用 f(x) 计算插值，即 y*=f(x*)。f(x)称为插值函数。如果 f(x) 为 k 次多项式，f(x) 就是插值多项式，此时插值为代数插值；如果 f(x) 为有理函数，就是有理插值；如果 f(x) 为三角函数，则为三角插值。Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室
3、 2010年多项式插值-线性插值xx0x1 yy0y1y=f(x)函数表一次函数通过两个不同的插值点Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年线性插值-两点式方程Lagrange 插值：是 l0(x) 和 l1(x) 的线性组合基函数：Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年线性插值-点斜式方程均差：Newton插值：一阶均差的一般定义：Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年线性插值-余项？ 两种不同的构造方式（Lagrange和Ne
4、wton）效果一样吗？此处一样！？ 两种不同的构造方式（Lagrange和Newton）可以推广到多个点吗？可以！Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-二次插值xx0x1x2yy0y1y2一次函数通过三个不同的插值点y=f(x)函数表Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年二次插值-Lagrange基函数方法Lagrange 插值：Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年二次插值-Newton均差法二阶均差：Newton
5、插值：Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年二次插值-余项【例1】 已知，试利用插值法近似计算 。【解】有几位有效数字？Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-n次插值xx0x1xnyy0y1yny=f(x)函数表 ( xi 互不相同 )存在吗？ 唯一吗？ 如何构造？Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年n次插值-存在性、唯一性记 A=(an，an-1，a0)T ，Y=(y0，y1，yn)T 存在且唯一！xx0x1xn
6、yy0y1ynComputational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年n次插值-插值多项式的构造p方法一：Lagrange型插值多项式基函数：基函数的特点：Lagrange插值多项式Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年n次插值-插值多项式的构造p方法二：Newton型插值多项式均差表或 差商表Newton插值多项式：Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年n次插值-插值余项与事后误差估计p插值余项其中p 事后误差估计方法xx0x1xnxn+1yy
7、0y1ynyn+1误 差Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年n次插值-示例【例2】基于5个点（k,cos(k)），k=0,1,2,3,4，(1) 构造f(x)=cos(x)的差商表；(2) 并用差商表找出牛顿插值多项式的系数；(3) 写出四次牛顿插值多项式N4(x)；(4) 计算 N4(2.5)。 【解】第一步，明确插值点(xk,yk)；第二步，构造差商表；第三步，写出相应的牛顿插值多项式N4(x)；第四步，计算近似值 N4(2.5)。Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插
8、值的震荡性质用 Lagrange 插值多项式 LN(x) 近似 f(x)(axb)，虽然随着节点个数的增加，LN(x)的次数 N 更大，多数情况下误差|RN(x)|会变小。但是 N 增加时，LN(x)的光滑性变坏，有时会出现很大的震荡。理论上，当 N时，在a，b内并不能保证 LN(x)处处收敛于f(x)。 Runge给出了一个有名的例子： Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值的震荡性质Runge给出了一个有名的例子： 取xj=-5+10j/N，j=0，1，N。对于N=2，4，6，作Ln(x)，会得到如下图所示的结果。可以看出，
9、对于较大的|x|，随着N的增大，LN(x)振荡起来越大。事实上，有人证明了仅当 |x|3.63 时，才有而在此区间外，LN(x)是发散的。 Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值的震荡性质高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。 Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-分段线性插值xx0x1xn yy0y1yn是线性函数Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-分段线性插值分段
10、线性插值函数为：余项估计为：Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-分段线性插值分段线性插值多项式 L1(x) 的图像上是连接各插值点的一条折线,如右图:y=sin(x)的插值逼近图形变化。特点：曲线的光滑性较差在节点处有尖点 增加节点，减小步长，会改善效果。若f(x)在a,b上连续，则Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-Hermite插值考虑只有两个节点的插值问题如何选择基函数Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室
11、 2010年多项式插值-Hermite插值希望插值系数与Lagrange插值一样简单，假设其中Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-Hermite插值可知由可得Lagrange 插值基函数Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年类似可得即将以上结果代入多项式插值-Hermite插值Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-Hermite插值得两个节点的三次Hermite插值公式Computational Met
12、hods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-Hermite插值的插值余项两点三次Hermite插值的余项为【例3】Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-Hermite插值的插值余项【解】:Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生 Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点 三次Hermite插值。多项式插值-Hermite插值的插值余项Computational M
13、ethods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-分段三次Hermite插值可构造两点三次Hermite插值多项式Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-分段三次Hermite插值其中分段三次Hermite插值多项式， 余项为Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-样条函数插值分段插值的思想及优缺点 1、思想：将图形分段，每段为一个低阶多项式 Sk(x)，并在相邻点之间进行多 项式插值，组成一个分段的多项式曲线。 2、分类：（1）、分段线
14、性插值优点：简单；缺点：连续但不光滑，曲率不连续变化。（2）、分段二次多项式插值优点：简单；缺点：偶数点 x2k 处曲率变化很大，曲率不连续变化。 3、改进方法：利用分段三次样条插值：分段三次多项式，连续，光滑，曲率连续变 化，多项式的次数较低。Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-样条函数插值什么是样条:是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所
15、谓的样条函数Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-样条函数插值1. 三次样条插值函数的定义Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-样条函数插值2. 确定三次样条插值函数的条件Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-样条函数插值Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-样条函数插值3. 三次样条插值函数的构造方法3.1 用节点处一阶导数表示的三次样条插值函数 Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-样条函数插值Computational Methods西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年多项式插值-
