线性代数LineAlgebra

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1、线 性代 数 Line AlgebraLine Algebra东北财经大学数量经济系2005.04 大连1课程的性质和任务线性代数是经济学类的一门主要的数学 基础课。它的主要任务是通过各个教学环节，运用 各种教学手段和方法，使学生掌握线性代数的 基本概念、基本原理和基本计算方法，培养学 生分析问题、解决问题的能力，为学习后继课 程，打下坚实的基础。2对学生能力培养的要求在课内教学活动中侧重培养学生利用线性 代数的基本知识解决问题的方法，会运用课本 中的基本知识分析及解决一些基本的理论问题 与较简单的实际问题。3参考教材 单 飞： 经济数学基础系列 - 线性代数东北财经大学出版社 2003 大连

2、 赵树塬：经济应用数学基础（二）线性代数中国人民大学出版社 2000 北京 龚德恩：经济数学基础 线性代数四川人民出版社 2002 成都4第 1 章 行列式 排列 n 阶行列式 拉普拉斯（Laplace) 定理 克莱姆 (Cramer) 法则51.1 排列定义1 称由自然数 组成的一个有序的数组 为一个 n 级排列。在 中，若 ，称 构成了一个逆序。一个排列中逆序的总数为排列的逆序数。记为 。例如 在5级排列 45213 中，有 。在 中，若逆序数为偶数，则称此排列为 偶排列； 若逆序数为奇数，则称此排列为奇排列。在排列 中，当 的位置互换，则得到 一个新的排列 称这样的变换为一个对换，记为

3、。 排列在一次对换后，改变其奇偶性。61. 2 n 阶行列式例如从而有 n 阶行列式 .71. 2 n 阶行列式的计算例 计算 n 阶行列式解 因为 ，且 所以 81. 3 行列式的性质1. 称将行列式的行换成相应的列的变换为行列式转置。 行列式转置其值不变.2. 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如果行列式的两行（列）相同，则行列式的值等于零。3. 行列式某行（列）的所以元素都乘以常数k,等于k乘此行列式 行列式某行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的外面。 行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零 。 若行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式的值等于零 。4.

4、若行列式中某一行（列）的所有元素都是两个数的和，则此行 列式等于两个行列式的和。 将行列式某一行（列）的所有元素乘以数k加到另外一行（列） 的相应元素上，则行列式的值不变。 91. 4 拉普拉斯（Laplace)定理 定义2 在 n 阶行列式中，划去 所在第i行和第j列的所有元素而 得到的 n - 1 阶行列式为 的余子式。记作 。记 为 的代数余子式。 结论1: n 阶行列式 D 等于其任意一行（列）元素与其相应的代 数余子 式的乘积之和。既结论2： n 阶行列式 D 的任意一行（列）元素与另一行（列）元 素的代数余子式的乘积之和等于零。既101. 4 拉普拉斯（Laplace)定理K 阶子

5、式M 在 n 阶行列式 D 中，任意选定 k 行，k 列 。由此确定的一个 K 阶行列式为 D 的 K 阶子式 M。 余子式N 在 D 中去掉 k 行、k 列后，余下的元素所构成的 n k 阶行列式为 M 的 n k 阶余子式N 。 记 为 M 的 n k 阶代数余子式。 拉普拉斯（Laplace)定理 在行列式 D 中任取 k 行 ，由这 k 行元素组成的所有 k 阶子式与其代数余子式乘积之和等于行列式 D 。既 其中 是子式 对应的代数余子式。 111. 4 拉普拉斯（Laplace)定理Vandermonde 行列式121. 5 克莱姆 (Cramer) 法则 对于含有 n 个未知变量

6、，n 个方程的线性方程 组通常称此方程组为 n 元非齐次线性方程组。记为 （*）。 克莱姆 (Cramer) 法则 若方程组 （*）的系数行列式 D0 ，则方 程组 （*）有唯一解。131. 5 克莱姆 (Cramer) 法则 称方程组为 n 元齐次线性方程组。记为 （*）。 如果方程组 （*）的系数行列式D0 ，则方程组 （*）有唯 一零解。 如果方程组 （*）有非零解，则它的系数行列式 D = 0 。14第 2 章 矩阵 定义与运算 逆矩阵 分块矩阵 矩阵的初等变换152. 1 矩阵的运算称由 个行， 个列的数构成的数表为 矩阵。记为162. 1 矩阵的运算2.1.1 矩阵的加法 对于具有

7、相同的行数和列数的矩阵 和 ，如果它们的对应元素相等，即 则称矩阵A与B相等。记作A = B。 对于具有相同的行数和列数的矩阵 和 ，它们的对应元素相加所得到的矩阵为A与 B的和。记作A + B。 如果一个矩阵中的所有元素全都是零，则此矩阵为零矩阵 。 记作 O 。172. 1. 2 数与矩阵的乘法 对于矩阵 ，用数 k 去乘矩阵 A 所得到的矩阵为 数乘矩阵。记作 。 矩阵的加法和数乘有如下性质： A + B = B + A ; ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ; A + O = O + A = A ; A A = A + (- 1 )A = O; k ( A +

8、 B ) = kA + kB; ( k + 2 ) A = kA + 2A; k ( 2A ) = ( k2 )A; 1A = A . 182. 1. 3 矩阵的乘法 设矩阵 。矩阵 A 与 B 的乘积定义为m n 的矩阵 。其中 记作 。 注意： 1）矩阵的乘法一般不满足交换律； 2）两个非零矩阵之积可能是零矩阵。 若矩阵的主对角线元素都是1，其它元素都是零的n n 的方矩阵为 n 阶单位矩阵。记作 。显然，有192. 1. 4 矩阵的转置 将矩阵 的行与列互换所得到的矩阵称为 A 的 转置矩阵。记作 。 有如下性质： 显然，有 202. 1. 5 矩阵的行列式 由 n 阶矩阵 的元素按原有

9、的位置所构成的行 列式为矩阵 A 的行列式。记作 。 要特别注意A与 的不同之处。 有如下性质与事实： 212. 2 几种特殊的矩阵 2. 2. 1 对角矩阵 所有非主对角线元素全都是零的方阵为对角矩阵。 对角矩阵有如下性质： 1）对角矩阵的和仍为对角矩阵； 2）数与对角矩阵之积仍为对角矩阵； 3）两个对角矩阵之积仍为对角矩阵，且可交换。 222. 2. 2 数量矩阵 当对角矩阵的所有主对角元素都相等，则称之为数量矩阵。 显然 。 当 . 232. 2. 3 三角矩阵当 n 阶方阵主对角线的下方元素全都是零，则称之为上三角 矩阵。 同理有，当 n 阶方阵主对角线的上方元素全都是零，则称之 为下三角矩阵。 特别要注意由三角矩阵的乘法所引出的问题。242. 2. 4 对称矩阵与反对称矩阵 如果 n 阶方阵满足 ，则称之为对称矩阵。 具有以下特点： 1）两个对称矩阵之和（差）仍为对称矩阵； 2）数与对称矩阵之积仍为对称矩阵。注意：两个对称矩阵之积不一定为对称矩阵。 如果 n 阶方阵满足 ，则称之为反对称矩阵。 具有以下特点： 1）两个反对称矩阵之和（差）仍为反对称矩阵； 2）数与反对称矩阵之积仍为反对称矩阵。 注意：两个反对称矩阵之积不一定为反对称矩阵。 252. 3 逆矩阵 对于 n 阶方阵 A ,如果存在同阶方阵 B ,使得有