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1、教学内容和基本要求 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解教教 学学 内内 容容学时数学时数 1.1 1.1 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 1 11.2 1.2 n n阶行列式阶行列式 11.3 1.3 行列式的性质和计算行列式的性质和计算41.4 1.4 线性方程组的求解线性方程组的求解 21趣味思考题趣味思考题三三、若行列式若行列式D D=0=0，则，则D D都可能是什么类型的都可能是什么类型的 行列式？行列式？ (1) 行列式D有两行或两列的元素相同； (2) 行列式D有两行或两列的元素成比例； (3) 行列式D有至少有一行或一列元素都是零 ； (4) 主对角
2、线上至少有一个元素等于零的对角行列式；(5) 主(次)对角线上至少有一个零元素的三角行列式； (6) 所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式 四、四、设设DD = = a a11 11 a a1 1mma amm1 1 a ammmm D D1 1 = =, ,证明证明: : DD = = ( ( 1 1) )mnmnD D1 1D D2 2. .D D2 2 = =, ,b b11 11 b b1 1n n b bn n1 1 b bnnnn0 0 0 0 a a11 11 a a1 1mm, ,0 0 0 0 a amm1 1 a ammmmb b11 11 b b1 1n n c c
3、11 11 c c1 1mmb bn n1 1 b bnn nn c cn n1 1 c cnmnm证明证明: : 将第将第n n+1+1列与左边的各列逐次对换相邻两列与左边的各列逐次对换相邻两 列，列， 可将其移到第一列，以此类推，共做可将其移到第一列，以此类推，共做mnmn次次 相邻对换，即可得到相邻对换，即可得到所以所以DD = = = = ( ( 1 1) )mnmn|A|A| |B|B|. .二二. . 行列式的主要计算方法行列式的主要计算方法 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 1. 1. 化为三角形化为三角形行列式行列式 |AT| = |A|. 3. 行列式按行
4、(列)展开 2. 2. 箭形行列式的计算箭形行列式的计算 4. 4. 降阶递推法降阶递推法 5. 5. 分解行列法分解行列法 本结论可以直接应用1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 2. 2. 箭形箭形行列式行列式 例例7 7. . 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 5第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质 例例8 8: : D Dn n= = 1+1+a a1 11 1 1 1 1 1+ 1 1+a a2 2 1 1 1 1 1+ 1 1 1+a an n 可化为箭形的可化为箭形的
5、行列式行列式 解解: :( (a a1 1a a2 2a an n 0). 0). 1+1+a a1 11 1 11 1 1 a a1 1a a2 20 0 0 0 a a1 1 0 0 a a3 3 0 0 a a1 10 0 0 0 a an nI I l lveve it! it! “ “伞形伞形” ” 行列式行列式 r2 r1rn r16第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质 注意注意已知条件已知条件: : a a1 1a a2 2a an n 0, 0, 否则不能否则不能 1/1/a a1 1, , , , 1/1/a
6、 an n ! ! = 1+ = 1+ (1/(1/a aj j) )a a1 1a a2 2a an n . . j j = 1 = 1 n n 1 1+ +a a1 1+ + ( (a a1 1/ /a aj j) ) 1 1 11 1 10 0 a a2 20 0 0 0 0 0 0 0 a a3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 a an n j j = 2 = 2 n n 1+1+a a1 11 1 11 1 1 a a1 1a a2 20 0 0 0 a a1 1 0 0 a a3 3 0 0 a a1 10 0 0 0 a an nr2 r1rn r17三阶行列式三阶行列式 对
7、角线法则对角线法则 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 . = a11(a22a33 a23a32) + a12(a23a31 a21a33) + a13(a21a32 a22 a31 ) 问题：能否 利用二阶行 列式来计算 三阶行列式 ？1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算
8、 3. 行列式按行(列)展开 aij 的余子式 Mij ： 划去aij 所在的行列得到的n-1阶行列式按第一行展开第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 a ai ij j的的代数余子式代数余子式: : A Ai ij j= (= ( 1 1) )i+i+j jMMi ij j . . a a11 11 a a1212a a13 13 a a1414a a21 21 a a2222a a23 23 a a2424a a3131 a a3232a a33 33 a a3434a a41 41 a a4242a a43 43 a a4444a a11 11 a a13 13
9、 a a1414a a21 21 a a23 23 a a2424a a41 41 a a43 43 a a4444MM3232= =, ,A A3232 = (= ( 1 1) )3+23+2MM32 32 = = MM3232. . a11的余子式定理定理1 1.2 .2. |A|A| = = a ai i1 1A Ai i1 1+ +a ai i2 2A Ai i2 2+ + a ai in nA Ai in n, , i i=1,2, , =1,2, , n n. .1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 证明： (1) (2) (3) 第一章第一章 行列式和线性方程组的
10、求解行列式和线性方程组的求解 = a11A11= aijAij= = a ai i1 1A Ai i1 1+ +a ai i2 2A Ai i2 2+ + a ai in nA Ai in n . .证明： (1) 定理定理1 1.2 .2. 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 M11 = A11= a11M11|A|A| = = a ai i1 1A Ai i1 1+ +a ai i2 2A Ai i2 2+ + a ai in nA Ai in n, , i i=1,2, , =1,2, , n n. .=
11、a11A11证明： (2) 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 定理定理1 1.2 .2. |A|A| = = a ai i1 1A Ai i1 1+ +a ai i2 2A Ai i2 2+ + a ai in nA Ai in n, , i i=1,2, , =1,2, , n n. .= aij Mij= aijAij(1)i+j2 =(1)i+jaij MijDij|A|A| = = a ai i1 1 A Ai i1 1+ + a ai i2 2 A Ai i2 2+ + + + a ai in n A
12、 Ai in n, , i i=1, =1, n n. . 证明： (3) 定理定理1 1.2 .2. 1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 = = a ai i1 1 A Ai i1 1+ + a ai i2 2 A Ai i2 2+ + + + a ai in n A Ai in n. .同理同理, ,|A|A| = = a a1 1j j A A1 1j j+ + a a2 2j j A A2 2j j+ + + + a an nj j A An nj j, , j j=1,2, ,=1,2, ,n n. .
13、分阶段处 理复杂问 题的“水泵 ”思维 化繁为简定理定理1 1.2 .2. |A|A| = = a ai i1 1A Ai i1 1+ +a ai i2 2A Ai i2 2+ + a ai in nA Ai in n, , i i=1,2, , =1,2, , n n. .1.3 1.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 (1) (2) (3) 第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 = a11A11= aijAij= = a ai i1 1A Ai i1 1+ +a ai i2 2A Ai i2 2+ + a ai in nA Ai in n . .分阶段处理复杂问题的“水泵”思维化繁为简二二. . 行列式的主要计算方法行列式的主要计算方法 1.3 1.3 行列式的
