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1、二次函数的图像与性质东厦中学 陈舒雄1.抛物线y=ax+bx+c(a0)的性质：2.二次函数图像的平移、增减性及对称性：3. 二次函数解析式的求法：一. 抛物线y=ax+bx+c(a0)的性质： a、b、c 的代数式作用说明a1. a的正负决定抛 物线开口方向； 2. 决定抛物线 开口大小。 a0开口向_a0开口向_b决定对称轴的位 置，对称轴为直 线a、b同号对称轴在y轴的_侧b=0对称轴为_轴a、b异号对称轴在y轴的_侧 c确定抛物线与y轴 交点的位置，交点 坐标为（0，c）c0交点在y轴的_半轴c=0交点是_点c0交点在y轴的_半轴上下原正负左 y右a、b、c 的代数式作用说明b-4ac
2、决定抛物线与x 轴交点个数b-4ac0抛物线与x轴 有_个交点b-4ac=0抛物线与x轴 有_个交点b-4ac0抛物线与x轴 有_个交点决定顶点位置a0时，顶点纵坐标 是二次函数的最_值a0时，顶点纵坐标 是二次函数的最_值210小大a、b、C的代 数式作用说明决定抛物 线与x轴 的交点的 横坐标当y=0时，即ax+bx+c=0则 抛物线与x轴的交点坐标为_练习一1. 二次函数 的图像如图所示，则下列结论：a0；c0；b-4ac0，其中正确的个数是（ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个2. 二次函数y=kx-6x+3的图像与x轴有交点，则k的 取值范围是（ ）A. k3 B. k
3、3且k0C. k3 D. k3且k0CD考查从图像中找出a 、c及b-4ac性质的 应用。考查抛物线与x轴有交点时 b-4ac0，及a0的问题 。4.已知函数y=ax+bx+c的图像如图所示，那么函数的 表达式为（ ）A. y=-x+2x+3B. y=x-2x-3C. y=-x-2x+3D. y=-x-2x-33. 二次函数y=ax+bx+c(a0)的图像如图所示，根据图像回答：(1)写出方程ax+bx+c=0的两个根：_；(2)写出y0时x的取值范围：_。1x3ax+bx+c=0的根实质就是抛物线与x轴 交点的横坐标；y0时x的取值范围可以 从图像直接得到。A考查在图像中 通过a、b、c的
4、特点来选择合 适的表达式。6.如图所示，某中学教学楼前喷水池 喷出的抛物线形水柱，其解析式为 y=-x+4x+2，此水柱的最大高度 是（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. C本题可利用 是该二次函数的最大值来解题 。5. 在同一坐标系中，函数y=-x-1和y=x+2x+1 的图像可能是（ ）xO xO xO xy O D考查当一次函数k0、b0时，直线 经过第二、三、四象限；当二次函数a 0、b0、c0时，抛物线开口向上 、对称轴在y轴的左侧及与y轴的交点在 y轴的正半轴。y y y 二（1）. 二次函数图像的平移：例：把抛物线y=-3x向左平移1个单位，平移后得到抛 物线_。把抛物线y=
5、-3x向右平移1 个单位，平移后得到抛物线_。即：左加右减把抛物线y=-3x向上平移1个单位，平移后得到 抛物线_。把抛物线y=-3x向下平移 1个单位，平移后得到抛物线_。即：上正下负y=-3(x+1) y=-3(x-1)y=-3x+1 y=-3x-1二（2）. 二次函数的增减性：1. 如图1，当a0时，当 时，y随x的增大而_，当 时，y随x的增大而_。2. 如图2，当a0时，当 时，y随x的增大而_，当 时，y随x的增大而_。增大减小减小增大左减右增左增右减二（3）.二次函数的对称性：二次函数的图像是一个关于对称轴 对称的轴对称图形，当抛物线上两点的纵坐标相同，即时，_。对称轴练习二7.
6、 如图所示，抛物线y=ax+bx+c的对称轴为x=2且抛物线上点A（3，-8），则抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标为_。8.把抛物线y=2x向左平移1个单位，再向下平移2个 单位，平移后得到抛物线_。（1，-8 ）考查抛物线的对 称性，即抛物线 上纵坐标相等的 两个点，其横坐 标符合y=2(x+1)-2抛物线y=2x向左平移 再向下平移，即左加下 负。9.已知点 、 均在抛物线y=x-1上，下列 说法正确的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则D由图像可知，抛物线开口向上， 则左减右增三.二次函数解析式的求法： 1. 若已知抛物线上三点坐标，则可设表达式为 ，然
7、后组成三元一次方程组来解。2. 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程或最大（小） 值，可设表达式为 ，其中顶点坐标为 （h，k），对称轴为x=h。 3.一些常见二次函数图像的解析式 1. 如图1：若抛物线的顶点是原点，设 2. 如图2：若抛物线过原点，设 3. 如图3：若抛物线的顶点在y轴上，设 4.如图4：若抛物线经过y轴上一点，设5.如图5：若抛物线知道顶点坐标（h，k），设例1：如图，直线y=x+m和抛物线y=x+bx+c都经过 点A（1，0），B（3，2）（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x+bx+cx+m的解集（直接写出答案）。 解（1）直线y=x+m经过点A(1,0)0=
8、1+m m=1即m的值为1 抛物线y=x+bx+c经过点A(1,0),B(3,2) 解得：二次函数的解析式为 y=x-3x+2（2）x3或x1 练习三10. 如图所示，抛物线的对称轴为x=2，且经过A、B两 点，求抛物线的解析式。解：抛物线的对称轴为x=2设抛物线的解析式为y=a(x-2)+k又A（1，4）、B（5，0）在抛物线上 解得：抛物线的解析式为例2：2009年汕头市高中阶段招生考试首次将体育科计入总分， 考查掷实心球、立定跳远或一分钟跳绳。男同学小明在一次实心 球模拟测试中，已知小明同学球出手时侯的高度为2米，整个球 运动的路线是一条抛物线，并在在距小明同学4米时达到最高点 3.6米
9、（如图所示）； （1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式； （2）根据教育局规定：9.32米得分为90分，以后每增加0.15 米可增加1分，增加幅度不足0.15米不加分。则小明在这次测试 中，小明能得多少分？ OAC4米3.6米解（1）以O为原点， OC所在的直线为x轴建 立平面直角坐标系依题意得：A(0,2)抛物线的顶点坐标为 (4,3.6)则设抛物线的解析式为 y=a(x-4)+3.6将A代入得：解得：C 即：(2)令y=0，得解得：则小明投掷了10米。（10-9.32）0.15+9094（分）答：这次测试，小明得了94分 。4米3.6米OA练习四11. 某工厂大门是一抛物线
10、水泥建筑物，如图所示，大 门底部宽AB=4m，顶点C离地面高度为4m，现有一辆 满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.56m， 装货宽度为2.3米，请判断这辆车能够顺利通过大门？xy(-2,-4)(2,-4)y=ax以C为原点建立平 面直角坐标系，使 x轴AB练习四11. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大 门底部宽AB=4m，顶点C离地面高度为4m，现有一辆 满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.56m， 装货宽度为2.3米，请判断这辆车能够顺利通过大门？xy(2,0)(0,4)y=ax+cO以大门底部宽AB 的中点O为原点， 大门底部AB所在 直线为x轴，建立 平面直
11、角坐标系练习四11. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大 门底部宽AB=4m，顶点C离地面高度为4m，现有一辆 满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.56m， 装货宽度为2.3米，请判断这辆车能够顺利通过大门？xy(2,4)(4,0)y=ax+bx以A为原点，大门 底部AB所在的直线 为x轴，建立平面直 角坐标系11. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大 门底部宽AB=4m，顶点C离地面高度为4m，现有一辆 满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.56m， 装货宽度为2.3米，请判断这辆车能够顺利通过大门？xy(2,0)(0,4)O解：以大门底部宽AB的中点O为原点 ，大门底部AB所在直线为x轴，建立 平面直角坐标系。设抛物线的解析式为 y=ax+c(a0)依题意得：B(2,0),C(0,4)代入得： 解得：抛物线的解析式为y=-x+4当y=2.56时，有-x+4=2.56解得：21.22.3这辆车能通过大门课堂小结1. 抛物线y=ax+bx+c(a0)的性质。2. 抛物线的平移。3. 抛物线的增减性。4. 抛物线的对称性。5. 抛物线解析式的求法。6. 如何建立恰当的坐标系来解决实际问题。完成课后练习
