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1、第十二章 动量矩定理质点和质点系的动量矩动量矩定理刚体绕定轴转动的微分方程 第十二章 动量矩定理实际问题引言引言均质轮受外力作用而绕其质心O作定轴转动，它有角速度和角加速度。轮的动量：外力的矢量和为：这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定 轴转动的运动。引言1 质点的动量矩质点Q的动量对于点 O的矩，定义为质点对于 点O的动量矩，是矢量12.1 质点和质点系的动量矩xyzqOmvMO(mv )Mz(mv)r质点动量 mv 在 oxy 平 面内的投影(mv)xy对于点O 的矩，定义为质点动量对于 z轴的矩，简称对于z轴的动 量矩，是代数量类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的 动量
2、矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动量矩。在国际单位制中，动量矩的单位是 kgm2/s。方向： 是代数量，它的正负可以通过右手定则判断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指向为质点动量的方向，大拇指指向为该动量矩的方向，若方向与坐标轴正向相 同为正、相反为负。 12.1 质点和质点系的动量矩或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的 矢量和。2 质点系的动量矩质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的动量矩的 代数和。质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的投影，等 于质点系对该轴的动量矩。12.1 质点和质点系的动
3、量矩3 平动刚体的动量矩刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个 质点计算其动量矩。对轴的：对点的：12.1 质点和质点系的动量矩4 定轴转动刚体对转动轴的动量矩令 Jzmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体 对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。12.1 质点和质点系的动量矩例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有 一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转 轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度 为w，重物A的质量为m，并设绳与原盘 间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩 。 解：LO的转向沿逆时针方向。12.1 质点和质点系的动量矩平面运动刚体对垂
4、直与其质量对称平面内任一 固定轴的动量矩为：即：其对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动 量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动 时对该轴的动量矩之和。5 平面运动刚体的动量矩12.1 质点和质点系的动量矩刚体对轴 z 的转动惯量定义为：刚体上所有质点的质量与 该质点到轴 z 的垂直距离的平方乘积的算术和。即对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分 布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是: kgm2。同一 刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量 却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的 转动惯量。6 刚
5、体对轴的转动惯量12.1 质点和质点系的动量矩1. 均质细杆z1dxxx CzdxxxOl设均质细杆长 l，质量为m ，取微段 dx, 则一、简单形状刚体的转动惯量12.1 质点和质点系的动量矩2. 均质薄圆环对于中心轴的转动惯量设细圆环的质量为m，半径为R。则3.均质圆板对于中心轴的转动惯量设圆板的质量为m，半径为R。将圆板分为 无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm 2rdr ( m/R2 ), 于是圆板转动惯量为12.1 质点和质点系的动量矩在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义 为如果已知回转半径，则物体的转动惯量为回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一 点处，并保
6、持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离 就等于回转半径的长度。对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。二、回转半径(惯性半径)12.1 质点和质点系的动量矩定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通 过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积，即三、平行移轴定理由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量， 过质心轴的转动惯量最小。12.1 质点和质点系的动量矩例2 如图所示，已知均质杆的质量为m，对 z1 轴的转动惯量为J1，求杆对z2 的转动惯量J2 。解：由 ，得(2)(1)得zz1z2abC12.1 质点和质点系的动量矩例3 均质直角折杆尺寸如图
7、，其质量为3m， 求其对轴O的转动惯量。解：12.1 质点和质点系的动量矩圆盘对过其质心轴的转动惯量：杆对过点O的轴的转动惯量，用平行移轴定理求得：12.1 质点和质点系的动量矩例4 求对轴O的转动惯量一、质点的动量矩定理质点对某定点的动量矩对时间的一阶 导数，等于作用力对同一点的矩。12.2 动量矩定理将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴 的动量矩的关系代入，得质点对某固 定轴的动量矩对 时间的一阶导数 等于质点所受的 力对同一轴的矩12.2 动量矩定理设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e) 和内力Fi(i) 。由质点的动量矩定理有这样的方程共有n个，相加后得
8、由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项二、质点系的动量矩定理12.2 动量矩定理上式左端为于是得质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等 于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。12.2 动量矩定理在应用质点系的动量矩定理时，取投影式质点系对某 固定轴的动量矩 对时间的导数， 等于作用于质点 系的外力对于同 一轴的矩的代数 和。12.2 动量矩定理1. 质点动量矩守恒定律如果作用在质点上的力对某定点(或定轴)之矩恒 等于零，则质点对该点(或该轴)的动量矩保持不变。三、 动量矩守恒定理当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于零时， 质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持不变。2. 质点系动
9、量矩守恒定律若： 则 （常矢量）若： 则 （常量）12.2 动量矩定理例5 一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为 m 的重物A，另 一端有一质量为m的人以速度u 相对细绳向上爬。若滑轮半 径为r，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。 解：以系统为研究对象，受力如图。设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va 的大小为由于MO(F (e)0，且系统初始静止，所以LO0。由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等于人 相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A位于同一高度 ，则不论人以多大的相对速度爬绳，人与重物A将始终保持相 同的高度。u vavevmgmguAOFOxFOy12.2 动量
10、矩定理设刚体绕定轴 z 以角速度w 转动，则 Lz Jzw。12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程xyz FN1FN2FnF1F2刚体受到主动力和轴承约束 反力，如不计摩擦，则由质点系 动量矩定理得或刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等 于作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。以 上各式均称为刚体绕定轴转动的微分方程。应用刚 体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题。12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程此形式与牛顿第二定律类似。例6 如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑 轮的皮带拉力为F1和F2 。求滑轮的角加速度a 。解：由刚体定轴转动的微分方程于是得由上式可见，只有当
11、定滑轮匀速转动（包括静止）或 虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮 的皮带拉力才是相等的。F1F2ORa12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程如图所示，O为固定点，C为 质点系的质心，质点系对于固定点 的动量矩为12.4* 质点系相对于质心的动量矩定理ririrCmiyyxzCOxzvi质点系相对于任意定点O的动量矩 ：即：质点系对任一点O的动量矩等于质点系随质心平移时对 O点的动量矩(rcmvC)与质点系相对于质心的动量矩LC 的矢 量和。质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数 ，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。质点系相对于质心的动量矩定理12.4* 质点系相对于质心的动
12、量矩定理例7 均质圆盘质量为2m，半径为r。细杆 OA质量为m，长为l3r，绕轴O转动的 角速度为w、求下列三种情况下系统对轴 O的动量矩： (a) 圆盘与杆固结；(b) 圆 盘绕轴A相对杆OA以角速度w 逆 时针方 向转动； (c) 圆盘绕轴A相对杆OA以角速 度w 顺 时针方向转动。解：(a)12.4* 质点系相对于质心的动量矩定理(b)(c)12.4* 质点系相对于质心的动量矩定理由刚体平面运动理论知：平面运动 刚体的位置可由基点的位置与刚体绕基 点的转角确定。取质心为基点，如图所 示，则刚体的位置可有质心坐标和角 确定。刚体的运动可分解为随同质心的 平动和相对质心的转动两部分。取如图 的动坐标系，则刚体绕质心的动量矩为JC为刚体过质心且垂直于图示平面轴的转动惯量。12.5* 刚体的平面运动微分方程yxxyOCD设作用在刚体上的外力可向质 心所在平面简化为一平面力系，由 质心运动定理和相对质心的动量矩 定理得上式也可写成yxxyOCD12.5* 刚体的平面运动微分方程以上两式称为刚体平面运动微分方程。应用时，前 一式取其投影式。即12.5* 刚体的平面运动微分方程THE END谢 谢！
