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1、Fourier 级数小结常数项级数函数项级数一 般 项 级 数正 项 级 数幂级数三角级数收 敛 半 径 R泰勒展开式数或函数函 数数任 意 项 级 数傅氏展开式傅氏级数泰勒级数满足狄 氏条件在收敛 级数与数 条件下 相互转化 一、主要内容一、主要内容 1。 Fourier 级数Fourier 系数2。收敛定理（Dirichlet充分条件）f ( x ) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点只有有限个极值点则Fourier 级数收敛，且3。周期为 2L 的函数展开为Fourier 级数若 f ( x ) 是奇函数或偶函数，则有简化的计算公式偶函数奇函数4。非周期函数的展开上有定义的函数 f
2、 ( x ) 先在整个数轴上作周期延拓，将延拓后的函数 展开成 Fourier 级数，最后限制自变量的取值范 围， 即得f ( x ) 的 Fourier 级数展开式上有定义的函数 f ( x ) 奇延拓-展开成正弦级数（收敛域一般不包含端点）偶延拓展开成余弦级数（收敛域一定包含端点）5。强调几点这部分内容所涉及到的问题，类型不多，有 求函数的Fourier 级数展开式，讨论其和函数，证明三角等式，求某些数项级数的和 。解法也 比较固定首先是求出Fourier 系数，写出Fourier 级数，然后根据 Dirichlet 充分条件讨论其和函数记住 Fourier 系数公式。 Fourier 系
3、数的计算须不止一次地使用分部积分公式，要小心掌握Dirichlet 收敛定理的内容求函数的Fourier 级数展开式，必须注明展开式的成立范围即连续区间，也即只要去掉间断点 注意函数的奇偶性、周期性注意函数的定义域，是否需要延拓无论是奇延拓还是偶延拓，在计算展开式的系数时只用到 f ( x ) 在 0 , l 上的值，所以在解题过 程中并不需要具体作出延拓函数 F ( x ) ，而只须 指明采用哪一种延拓方式即可Fourier 级数收敛定理Fourier 系数其它展开正弦、余弦级数求和函数的表达式、常数项级数的和二、典型例题例1 解同理解关键是写出 f ( x ) 在一个周期内的表达式易见 f
4、 ( x ) 是奇函数 解此题是定义在的函数展开成正弦级数为此首先对 f ( x ) 作奇延拓在作正弦展开依收敛定理当 x 是连续点时 s ( x ) = f ( x )当 x 是间断点时只须注意端点处的情况例4 已知 f ( x ) 在 - 1 , 1 上的 Fourier 级数为该级数的和函数为s ( x ) 则A s ( 1 ) =1 s ( 2) = 4B s ( 1 ) =0.5 s ( 2) = 4 C s ( 1 ) =0.5 s ( 2) = 0D s ( 1 ) =1 s ( 2) = 0解对 f ( x ) 进行偶延拓 令 x = 0 得证明本例实则是将 函数f ( x )展开成Fourier 级数先展开成余弦级数，须进行偶延拓再展开成余弦级数 ，须进行奇延拓
