《初中数学《圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学《圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》学案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 - 1 - 页 共 7 页【基础知识精讲基础知识精讲】 1.1.基本概念基本概念 (1)顶点在圆心的角叫圆心角. (2)从圆心到弦的距离叫弦心距. (3)1的圆心角所对的弧叫 1的弧. 2.2.定理定理 (1)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形. (2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相 等. (3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等. 3.3.应注意的问题应注意的问题 (1)解题时作圆心的弦心距是常用辅助线. (2)等弧的度数一定相等，相等度数的弧不一定是等弧.【重点难点解
2、析重点难点解析】 本节的重点是掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系，并能运用这些关系解决 有关的证明、计算题，难点在于选择适当的辅助线，运用这几个量的相等关系解题. 例例 1 1 如图 7-20，O 是 RtABC 三条角平分线的交点，C=90，O 经过 C 点分别交 AC、BC 于 D、E，交 AB 于 F、G，求证 CD= CE= FG证明证明：作弦 CD、CE、FG 的弦心距 OM、ON、OP，O 是ABC 的三条角平分线的交点，OM=ON=OP，则： CD= CE= FG说明说明：证明弧相等通常证明弧所对的弦或圆周角相等，此题由角平分线定理得三条弦 的弦心距相等，从而知道这三条弧相
3、等.图图 7-207-20 图图 7-217-21 例例 2 2 如图 7-21，OA、OB 是O 的两条互相垂直的半径，M 是弦 AB 的中点，过 M 作MCOA，交 AB于 C，求证 AC=31 AB.证明证明：过 M、C 作 MEAO 于 E，CFAO 于 F，连 OCM 为 AB 的中点，ME=21OB,易证 MEFC 为矩形CF=21OB=21OC，COF=30，则 AC=31 AB第 - 2 - 页 共 7 页说明说明：若 AC=31 AB，则COF=31BOA，由题目条件知，须证明COF=30即可.例例 3 3 已知 AB、CD 是O 的两条直径，AP 是O 的弦，且 APCD，
4、求证 BD=DP证明证明：如图 7-22，APCD， AC= PD，AB、CD 是两直径，COA=BOD， CA= BD，则 BD= PD故 BD=DP说明：说明：此题用到“夹在两平行弦之间的弧相等” ， “圆心角相等弧相等” ， “弧相等弧所 对的弦相等”等结论. 例例 4 4 如图 7-23，MBA 与 MDC 是O 的二割线，已知弦 AB=CD，求 BM=DM.证明证明：作 OEAB 于 E，OFCD 于 F， AB=CD，OE=OF，则 RtMEORtMFO，ME=MF，又 AE=21AB=21CD=FCMB=MC 说明说明：本题通过作弦心距将问题转化为证 ME=MF，再通过三角形全等
5、达到目的，在全 等的证明过程中用到“弦相等弦心距相等”这一结论.【难题巧解点拨难题巧解点拨】例例 1 1 如图 7-24，O 中弦 AB=CD， AB与 CD的中点分别是 M 和 N，MN 与 AB、CD 分别交于 E 和 F，求证：ME=NF.证明证明：连结 AM、BM、CN、DNAB=CD， AB= CD第 - 3 - 页 共 7 页M、N 的分别为 AB、 CD的中点 AM= MB= CN= DNAM=BM=CN=DN， MD= NBFND=EMB，MBE=NDF，MEBNFD，ME=FN 说明：说明：此题通过弧、弦相等关系的互换证得 MB=DN，从而得MEBFND，得出结论.例例 2
6、2 如图 7-25，已知O 的两弦 AB 和 CD 相交于 P，且BPO=DPO，求证： AD= BC.证明：证明：作 OECD 于 E，OFAB 于 F， BPO=DPO，OE=OF，CD=AB， AB= CD， AD= BC说明：说明：本题通过角平分线定理得弦心距相等，从而弦相等，进而弧相等，再去掉公共部分 AC得命题成立.【课本难题解答课本难题解答】 1.如图 7-26，在O 中，弦 AB=CD，延长 AB 到 E，延长 CD 到 F，使 BE=DF，求证：EF 的垂直平分线经过点 O.分析：分析：由角平分线定理的逆定理知，只须证明 OE=OF，又由条件弦相等得弦心距 OM=ON，从而得
7、FOMEON，证出 OF=OE，命题成立. 2.如图 7-27，在ABC 中，ACB=90，B=25，以 C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于 D，求 AD的度数.第 - 4 - 页 共 7 页分析：分析：要求弧 AD 的度数就是求DCA 的度数，由条件易求出A=65，再考虑CDA，易求得DCA=50， AD=50【典型热点考题典型热点考题】例例 1 1 如图 7-28，已知O 中 AB=2 CD，求证明：AB2CD.证明证明：取 AB的中心 M，连结 BM、AM AB=2 CD AM= BM= CD从而有 AM=BM=CD 在AMB 中，ABBM+AM=2AM=2CD 故 AB2CD 说明
8、：说明：本题主要考察弦、弧之间的关系，定理告诉我们等弧对等弦，此题告诉我们长 不相等的弧的比值与其所对的弦的比值不等. 例例 2 2 如图 7-29，AB 为O 的直径，半径 OCAB，过 OC 的中点 D 作弦 EFAB，求证ABE=15.证明：证明：作 EHAB 于 H，则 EHOD 为矩形EH=OD，又 D 为 CO 的中点，EH=OD=21CO第 - 5 - 页 共 7 页考虑EHO 知：EOH=30再考虑EOB 知：EBO=21EOH=15例例 3 3 在 RtABC 中，C=90，B=20，以 C 为圆心 CA 为半径的圆交 BA 于 D，交 BC 于 E，求 DE的度数(图 7-
9、30).解：解：连连 DC，考虑ABC， C=90，B=20A=70 考虑CDA，CD=CA，A=70DCA=40，则DCE=50， DE=50说明说明：本题主要考察弧的度数的概念.本周训练【同步达纲练习同步达纲练习】 一、填空题一、填空题(8(8 分分5=405=40 分分) ) (1)梯形 ABCD 内接于O，且 ADBC，则 AB= . (2)AB、CD 是O 的两弦，E、F 分别是 AB、CD 的中点，若 AB=CD，作 OE= ，AOB= ， AB= .(3)圆内最大的弦是 12，则这个圆的半径是 . (4)一条弦把圆分成 2:3 两部分，则劣弧所对的圆心角的度数是 .(5)等边AB
10、C 内接于O，则与 AB相等的弧有 ，AOB= .二、选择题二、选择题(8(8 分分5=405=40 分分) ) (1)AB、CD 分别是两个不等圆的弦，若 AB=CD，则( )A. AB= DC B. AB DC C. AB DC D. AB DC(2)在O 中， AB=2 DC，那么( )A.AB=2DC B.AB=DC C.AB2DC D.AB2DC (3)在ABC 中，A=70，O 截ABC 的三边，所截得的弦都相等则BOC 等于( ) A.11 B.125 C.130 D.不能确定(4)在半径不相等的O1和O2中，11BA与22BA所对的圆心角都是 60，则下列说第 - 6 - 页
11、共 7 页法正确的是( )A.11BA与22BA的弧长相等 B. 11BA和22BA的度数相等C.11BA与22BA的弧长和度数都相等D.11BA与22BA的弧长和度数不相等(5)下面说法正确的是( ) A.弦相等，则弦心距相等 B.弧长相等的弧所对的弦相等 C.垂直于弦的直线必平分弦 D.圆的两条平行弦所夹的弧长相等三、解答题三、解答题(10(10 分分2=202=20 分分) )(1)从O 外一点 P 向O 引两条割线 PAB、PCD 交O 于 A、B、C、D，且 AB= CD，求证：圆心 O 必在BPD 的平分线上，(2)如图 7-31，已知O 的半径 OA、OB 互相垂直，弦 AD 的延长线交 OB 的延长线于C，若ACD=32，求 AD的度数.【素质优化训练素质优化训练】 1.如图 7-32，在O 中，弦 AB=CD，E、F 分别在 AB、CD 的延长线上， BE=DF，OGEF，垂足为 G，求证：G 为 EF 的中点.2.求证：求O 内一点 A 的所有弦中，垂直于 OA 的弦最短.第 - 7 - 页 共 7 页
