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1、二阶常微分方程的级数解法 本征值问题李莉 16-1 二阶常微分方程的级数解法n二阶线性常微分方程为具一般性，设变数x是复变数，p(x)，q(x)，y(x)为复变函数。p(x)和q(x)称为方程的系数。方程的解完全由方程的系数决定方程解的解析性完全由方程系数的解析性决定用级数解法解常微分方程时，得到的解总是某一指定点 的邻域内收敛的无 穷级数。方程系数p(x)，q(x)在 点的解析性就决定了级数解在 点的解析 性，或者说，决定了级数解的形式，例如是泰勒级数还是罗朗级数。2n二阶线性常微分方程的常点和奇点1. 如果p(x)，q(x)在 点解析，则称 为方程的常点；2. 如果p(x)，q(x)中至少
2、有一个在 点不解析，则称 为方程的奇点；例1：超几何方程系数是：在有限远处，p(x)，q(x)有两个奇点：x=0和x=1。所以，除了x=0和x=1是超 几何方程的奇点外，有限远处的其它点都是方程的常点。例2： 勒让德方程在有限远处的奇点为：3n方程常点邻域内的级数解法 定理如果p(x)，q(x)在圆 内解析，则在此圆内常微分方程初值问题存在唯一的解y(x)，并且y(x)在此圆内单值解析。根据这个定理，可以把y(x)在 点的邻域 内展开为泰勒级数将这个形式的级数解代入微分方程，比较系数，就可以求出系数 。系数 均可用 ， 表示。4设方程的解为将 和 也展开为泰勒级数：代入方程有：5由上式可化为：
3、6上式可化为：由幂级数的乘法：7比较等式两边 同次幂的系数有：由此可知 可以由初值 以及 表示出来，如：以此类推，可求出全部系数 ，从而得到方程的级数解。8例3：在 的邻域内求解常微分方程 解： 这里设解为则把以上结果代入方程，比较系数得：由此可得系数的递推公式：9得到：于是方程的级数解为：10通过这个实例，可以看出在常点邻域内求级数解的一般步骤： 将相同幂次项的系数归并，比较系数，得到系数之间的递推关系； 反复利用递推关系，求出系数 的普遍表达式（用 和 表示），从而最后得出级数解。 将（方程常点邻域内的）解展开为泰勒级数，代入微分方程；11n求勒让德方程 在x=0点邻域 内的解，其中l是一
4、个参数。解：x=0是方程的常点，根据定理，可知解的形式为：根据上式求出：12代入方程中，有：整理合并，得到根据泰勒展开的唯一性，可得：即这样就得到了系数之间的递推关系。反复利用递推关系，就可以求得系数。13由递推公式得：14这样得到l阶Legendre方程的级数解其中15现在确定 和 的收敛半径。说明 和 在|x|1处发散。在 处， 和 可表示成常数项级数：由Gauss判别法，对 ，有对 ，有可知级数 与 均发散。即方程级数解在x=1和x=-1为无限值。16n勒让德多项式在实际应用中，遇到勒让德方程时，往往还附有边界条件：要求在 处 收敛（实际问题中， ， 是球坐标中角度， ）。勒让德方程 的
5、两个无限级数形式解均不满足这个条件。注意：勒让德方程还有一个参数l。如果l取某些特定的值，则可能找到满足以上 边界条件的解。考察递推公式只要l是个整数，则当k=l时，由系数 开始，以后的系数均为零。级数便 截止于l项，退化为l次多项式，解就可能满足边界条件。这样得到的多项式， 称为l阶勒让德多项式。17当 （n=0,1,2.）时，18此时 称为2n阶勒让德多项式。在以上通解中取 ，则解成为：再取 ，使 ，可得：19此时 称为2n+1阶勒让德多项式。在以上通解中取 ，则解成为：再取 ，使 ，可得：当 （n=0,1,2.）时，20综上所述，只有当l取整数时，勒让德方程才能在 有解，这个解就 是勒让
6、德多项式 。可统一表示为：其中21定解问题 构成本征值问题。本征值：本征解：n阶勒让德多项式 （第一类勒让德函数）结论： 当l不是整数时，勒让德方程的通解为：， 在端点上均无界，此时方程在-1，1无有界解；当l是整数时（奇数或偶数）， 和 中一个是勒让德多项式 ，另一个仍为无穷级数，记为 ，方程的通解为：称为第二类勒让德函数，它在-1，1仍是无界的。22n方程正则奇点邻域中的级数解如果 是p(x)的不超过一阶的极点，即 在 解析；q(x)的不超过二阶的极点，即 在 解析；这种奇点称为方程的正则奇点，否则，称为非正则奇点。23定理：设 是方程 的正则奇点，则在 的领域内，方程的基础解系为：或：其
7、中24在方程正则奇点邻域内求解思路： 将正则解 或 代入方程 通过比较系数，求出指标和递推关系 进而求出系数的普遍表达式实际的求解过程中，总是将 形式的解代入方程。 如果能够同时求得两个线性无关的解，则任务完成，没有必要再将 形式的 解代入方程中； 如果只能求得一个解，那么就必须将 形式（带有对数部分）的解代入方程 中。为了能够方便地比较系数，往往需要对p(x)和q(x)进行处理，将它们展开为在正 则奇点邻域的幂级数形式。25在正则奇点邻域内求方程级数解的一般步骤：用 乘方程 两侧，得：其中可化为：由正则奇点的条件知，新系数 ， 在方程奇点 的领域中是解析的，可 展成泰勒级数第1步：将方程的系
8、数展开为正则奇点邻域的级数形式；26不管第二个解可能取哪种形式，总先设定解的形式为：从上式求出：第2步：写出第一解形式，将其代入经过变换的方程；将以上结果代入方程得到：27消去因子 后，得：其中，最低次幂项是常数项（i=0，j=0，n=0时），其系数为零的方程是判定方程（指标方程）因为 ，所以：第3步：比较系数，得到判定方程和系数之间的递推关系；28由方程 中，一般项 的系数为零的方程，可得待定系数之间的递推关系。第4步：通过递推关系，得到第一解中系数的普遍表达式。29当 整数时，此时第二解不含对数项，用 代入系数求出第二解；两个根：决定第二解的形式（设 ）： 对应于 ，所得即为 。当 整数时，用递推关系确定方程的第二个解第5步：由判定方程两个根的关系，确定方程第二解形式并按同样方法求解。判定方程：再将第二解代入原方程中求解。若 ， 线性无关，则它们构成方程的基础解系；若 ， 线性相关，则第二 解包含对数项，用 代入含有对数项的第二解表达式：30
