高三数学排列组合

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1、 基 本 原 理 组合排列排列数公式组合数公式组合数性质应 用 问 题基础知识1：知识结构网络图复习名称 内容分类原理分步原理定 义相同 点 不同 点做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它可以有n类办法， 第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤， 做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法.基础

2、知识2：两个原理的区别与联系复 习名称 内容分类原理分步原理定 义相同 点 不同 点做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它可以有n类办法， 第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤， 做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法.基础知识2：两个原理的区别与联系复 习名 称排 列组 合 定义种数符号

3、计算 公式关系性质，从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数基础知识点3：排列和组合的区别和联系名 称排 列组 合 定义种数符号计算 公式关系性质，从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数基础知识点3：排列和组合的区别和联系例1、 4个男同学，3个女同学站成一排.(1) 3个女同学必须排在一起，有多 少种不同的排法？(2) 任何两个女同学彼此不相邻,有 多少种不同的排法？排队问题(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3 人，有多少种不同

4、的排法？(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相 邻，有多少种不同的排法？(5) 女同学从左到右按高矮顺序排， 有多少种不同的排法？(3个女生身高互 不相等)(6)学生甲不站排头，学生乙不站 排尾，共有多少种不同的排法？(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3 人，有多少种不同的排法？(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相 邻，有多少种不同的排法？(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3 人，有多少种不同的排法？(5) 女同学从左到右按高矮顺序排， 有多少种不同的排法？(3个女生身高互 不相等)(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相 邻，有多少种不同的排法？(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3 人，有多少种不

5、同的排法？(6)学生甲不站排头，学生乙不站 排尾，共有多少种不同的排法？(5) 女同学从左到右按高矮顺序排， 有多少种不同的排法？(3个女生身高互 不相等)(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相 邻，有多少种不同的排法？(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3 人，有多少种不同的排法？(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3 人，有多少种不同的排法？(5) 女同学从左到右按高矮顺序排， 有多少种不同的排法？(3个女生身高互 不相等)(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相 邻，有多少种不同的排法？(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3 人，有多少种不同的排法？(6)学生甲不站排头，学生乙不站 排尾，共有多少种

6、不同的排法？(5) 女同学从左到右按高矮顺序排， 有多少种不同的排法？(3个女生身高互 不相等)(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相 邻，有多少种不同的排法？(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3 人，有多少种不同的排法？（男生）（女生）(1) 3个女同学必须排在一起，有多 少种不同的排法？解析：3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有A33种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A55种排法，由乘法原理，有A33A55种=720种不同排法.(1) 3个女同学必须排在一起，有多 少种不同的排法？解析：3个女同学是特殊元素，

7、我们先把她们排好，共有A33种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与甲同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A55种排法，由乘法原理，有A33A55种=720种不同排法.(1) 3个女同学必须排在一起，有多 少种不同的排法？元素相邻问题，一般用“捆绑法”,先把相邻 的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其它元 素全排列，然后再松绑，将这若干个元素 内部全排列。解析：先将男生排好, 共有A44种排法, 再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有A53种方案, 故符合条件的排法共有A44A53=1440种不同排法. (2) 任何两个女同学彼此不相邻, 有多少种不

8、同的排法？解析：先将男生排好, 共有A44种排法, 再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有A53种方案, 故符合条件的排法共有A44A53=1440种不同排法. (2) 任何两个女同学彼此不相邻, 有多少种不同的排法？ 元素不相邻，一般用“插空法”，先将不相邻 元素以外的“普通”元素全排列，然后在普通 元素之间或两端插入不相邻的元素。(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种 不同的排法？解析：甲、乙2人先排好，有A22种排法,再从余下5人中选3个排在甲、乙2人中间, 有A53种排法, 这时把已排好的5人视为一个整体, 与最后剩下的2人再排, 又有A33种排法，这样总共有A

9、22 A53A33 =720种不同排法.(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3人 ，有多少种不同的排法？(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种 不同的排法？解析： 安排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻, 故再把甲、乙排好, 有A22种排法, 最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有A52种排法, 这样, 总共有A44 A22 A52=960种不同排法.(4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻 ，有多少种不同的排法？解析：从7个位置中选出4个位置把男生安排好，则有A74种方法，然后再在余下的3个空位置中安排女生，由于女生要按身体高矮排列，

10、故仅有一种排法，这样一共有A74种不同排法。(5) 女同学从左到右按高矮顺序排，有 多少种不同的排法？(3个女生身高互不 相等)(6)学生甲不站排头，学生乙不站 排尾，共有多少种不同的排法？解析：学生甲不站在排头，则他可能站 在中间或排尾，故可分两类，一类是甲 站在中间有5种站法，此时乙有5种站法， 其他5名学生站在五个不同的位置上有 A55种站法，故共有55A55=3000种 站法。第二类是甲站在排尾，此时乙有 6种站法，其他5名同学站在五个不同的 位置上有6A55=720种，由加法原理， 故共有3720种站法。(6)学生甲不站排头，学生乙不站 排尾，共有多少种不同的排法？解析：学生甲不站在

11、排头，则他可能站 在中间或排尾，故可分两类，一类是甲 站在中间有5种站法，此时乙有5种站法， 其他5名学生站在五个不同的位置上有 A55种站法，故共有55A55=3000种 站法。第二类是甲站在排尾，此时乙有 6种站法，其他5名同学站在五个不同的 位置上有6A55=720种，由加法原理， 故共有3720种站法。位置分析法和元素分析法是解决排列组位置分析法和元素分析法是解决排列组 合问题最常用也是最基本的方法合问题最常用也是最基本的方法, ,若以元若以元 素分析为主素分析为主, ,需先安排特殊元素需先安排特殊元素, ,再处理其再处理其 它元素它元素. .若以位置分析为主若以位置分析为主, ,需先

12、满足特殊需先满足特殊 位置的要求位置的要求, ,再处理其它位置。若有多个再处理其它位置。若有多个 约束条件，往往是考虑一个约束条件的约束条件，往往是考虑一个约束条件的 同时还要兼顾其它条件同时还要兼顾其它条件例2、为支援四川灾区,有6名教师去汶川甲、 乙、丙三所不同的学校任教。按以下要求分 配各有多少种分法？ （1）平均分给甲、乙、丙三所学校，每校两 名。 （2）分给甲、乙、丙三所学校，一校1名， 一校2名，一校3名。 （3）分给甲、乙、丙三所学校，一校4名， 另两所学校各1名。分组问题解析：分三步：甲学校2名，有 C62种方法，乙学校2名有C42种 方法，丙学校2名，有C22种方法 ，依据分

13、步计数原理，所求不同 方法数为C62 C42 C22 =90。（1）平均分给甲、乙、丙三所学 校，每校两名。解析：分两步：第一步，把6名教师 分为三组，分别为一、二、三名，共 有种方法;第二步，把他们分给甲、乙、 丙三所学校有种方法，依据分步计数原理，共有 种方法。（2）分给甲、乙、丙三所学校， 一校1名，一校2名，一校3名。解析：分三步：第一步，从6名教师中 选取4名有种方法；第二步,分给甲、乙、丙三所学校中的 一所有种方法；第三步：余下两名教师分给剩下的两所 学校有种方法；由分步计数原理有种方法。3）分给甲、乙、丙三所学校，一校 4名，另两所学校各1名。解决“允许重复排列问题”要注意区分两

14、类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复 的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘 法原理直接求解。例3、七名学生争夺五项射击冠军， 每项冠军只 能由一人获得，获得冠军的可能 的种数有（ ） A.75 B. 57 C A75 D.C75分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列 ，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客 ”有7种住宿法，由乘法原理得75 种。注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 57 呢？用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。A住店问题例4、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每

15、部分栽种一种，且相邻部分不能栽种相同颜色的花，不同的栽种方法共有_种.(用数字作答)涂色问题61 234561 2345解析 本题是一道涂色问题的应用题,可以将不相邻的区域合并成涂同一颜色的区域，再用颜色进行排列；也可以根据条件分布涂色.把不相邻的区域合并后，成为4个“大区域”，然后再把4种颜色对应全排列1 24 35 61 24 36 51 25 36 41 25 46 31 2 35 46共5种合并方法， 所以5A44=120种栽 种方法.61 2345例5、 将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中.(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同, 有多少种放法？放球问题（1）每个小球都等可能放入4个盒子 中的任何一个，将小球一个一个地放 入盒子，共有4444=44=256 种放法。（2）为全排列问题，共有A44种放法。(1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？解析：先将4个小球分为三组有 种，再将三组小球投入四个盒子中的三个 盒子有种 投放方法，故一共有种投放方法。 (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？解析：1个球的编号与盒子编