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1、 学习研姗 翥 在 圆锥 曲线 中巧用设而不 求 一王 浩骏 一、什 么 是 设 而 不 求 1,b z 一 2， 故 双 曲 线 的 方 程 为 z。 一 y 21。 首 先 我 们 从 一 道 简 单 题 入 手 ， 简 单 认 识 一下口 、 、 ( 一 一 等一 得 z 2 一 例1 椭 圆c ： + 等一 1 的 弦A B 所 在 l -z + m o ， 直 线 z ： z+ 1 ， 求 弦 长 I AB j 。 m 一 2 一 O ， 设 A ( zl ， )， B( _z z ， z ) ， 则 z + 解析 ： 首先联立两个方程 z z 一 2 m ， 2 7 1 z z 一
2、 m 一 2， 所 以 + 一 +等 消 去 可 以 删 一 8 一 z + 2 4 删 一 一， l 一-z +1 ， 。 一 一 2 。 因 为 线 段 AB 的 中 点 在 设 A ( ， )， B( 1z。 ， 。 )， 利 用 韦 达 定 理 圆z + j ， 一5上 ， 所 以 代 入 解 得 一 1 。 可 得-z + z z 一 一 号， z z z 一一 号。 例3 已 知曲 线C的 方程是m z + z 所 以 + 一 6 , Y y e一一号 。 一 1 ( m 。 ， 。 ) ， 且 曲 线 c 过 A ， ) 、 从而进一步可得 AB 一 B ， “- g - 1 两
3、 点， 0为 坐 标原 点。 ( z1 + 2 ) 。 一 4 xl z 2 + ( l + 2 ) 。 4 y1 Y 2， 、 o 。 2 4 ( 1 ) 求 曲线 c 的 方 程 ； 代 入 数 据 可 得 J AB j 一二 二7。 ( 2 ) 设 M (z ， ) 、 N ( z ， ) 是 曲 线c 解 题 过 程 中 虽 设 出 z ， Y S z ， 但 并 不 需 要 上 的 两 点 ， 且 OM _ LON 。求 证 ： 直 线 M N 恒 解 出 z ， z 的具 体 值 ， 便 可 直 接 解 题 ， 这 样 就 与 一 个 定 圆相 切 。 将 计 算 量 减 少 了
4、不 少 。 f 1 1 二 、 设 而 不 求 的 具 体 应 用 解 析： ( 1 ) 由 题可 得 J 解得 1 处 理弦中 点问 题。 f 去 + ” 一1 ， 下2 、， 2 L b J 例 2 已 知 双 曲 线 c： 一 一 1 ( n O， m一 4， n= = = 1 。 所 以 曲 线 C 的 方 程 为 y 十 4 x。 一 1 。 6 o ) 的 离心 率为 3 ， 右 准 线方 程为z 一 等。 ( 2 ) 由 题 得 ； + 4 z i 一 1 ， l + 4 ； 一 1 ， z ( 1 ) 求 双 曲线 C 的 方 程 ； + y z 一 0 。原 点 0 到 直
5、线 MN 的 距 离 一 ( z ) 已 知 亘 线-z 十 一 。与 双 曲 线 c l O A 1 1 OBl一 1 -3 ( X l + z ； ) +9 z z ； 解析 ： ( 1 ) 双 曲线 c： 一_y 2 1 ( 。 0 ， ( 1 4 zi )( 1 4 z； )一 1 4( z+ -z ； )+ ， 一 _ ： ,g 1 6 ； ，所 以 f ； 一 ( i + ) 一 ，d 一 6 o ) 的 离 心 率 为 ，右 准 线 方 程 为 z一 ， 1 一 一 ， 一 詈 一 _詈I z + z 一 一 。 “ 一。 开“ 一 2 3 ( z 十z ) 一 5。 71 耋
6、轰 现 。 。 年 第 期 与定圆 q - 一相切。 6 o ) 的离心率是 ， 过点 P ( 0 ， 1 ) 的动直线 3 处 理 内切 圆 问题 。 与 椭 圆 相 交 于 A 、 B 两 点 ， 当 直 线 平 行 于 例 4 已知 椭 圆 C 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 轴时直 线 z被 椭 圆 E 截得 的线 受长 为2 2。 F 、 F 。 ， 椭圆的离心率为， 且椭 圆经过点 ( 1 ) 求 椭 圆 E 厶 的 方 程 ；， 一 一 P ( 1 ， 3 ) 。 ( 2 ) 在 平 面 直 角 ( 1 ) t N N I c的标准方程； 坐标系 x O y中， 是 ( 2
7、) 线 段 PQ 是 椭 圆 过 点 F。的 弦 ， 且 否 存 在 与 点 P 不 同 ，求 PF Q 内 切 圆 面 积 最 大 时 的 定 点Q， 使 得 图 1 实数 的值。 丽 I Q A I 一 恒成 解 析 ： ( 1 ) 一 詈 一 1 ， P ( 1 ， 詈 ) 在 椭 圆 立 ? 若 存 在 ， 求 出 点 Q 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 上 ， a 一6 z + c z ， 。 z 一 4 ， 6 一 3， 所 以 椭 圆 C 的 说 明 理 由 。 解 析 ：( 1 )由 已 知 可 得 ，椭 圆 经 过 点 栅 () 显 然 直 线与 不 与 z轴 重 合
8、 。当直PQ l 线P Q 与z 轴 垂直 时 ， l P Q l 一 3 ， l F F l 一 ( ， 1 ) ， 因 此 “ - b 2 一 c 。 ， 解 得“ 一 2 ， 6 = = = 三 。 一 3 。 当 线、 不 寸 ， l詈 一 ， 设 直 线 1D t ：_ 一( z PQPQ k 1 ) ， k 0， 代 k椭 圆 c 的标 准方程 ， 整 理 得 ( 3 q - 4 k z ) z - V 6 k 一9 k t, g， 所 以椭 圆 E 的方程 刀 7 C z 十 y Z 一1。 一 o， o， 】 + 。 3- 4 k ， y l ， 一 F ， ， 且 线 半仃
9、于 钏 议 且我 勺 椭 圆 相 交 于 、 两 点 ， 如 果 存 在 点 Q 满 足 1 C D S Z p F IQ 一言 1 2 条件 有 = = = Q cl 一 1 2 4 。 令 一 3 + 4 是 ， f 3 ， 忌 。 一 Q D l 。 所 以 点Q 在 轴 上 ， 可 设 点Q 的 坐 标 _t- 广3，所 以 5 Q =： 3 一 3 ( + ) + 了4 。 与 椭 圆 相 交 于 M 、 N 两 点 ， 则 M 、 N 的 坐 标 分 因 为。 其 判 别 式 一 ( 4 k ) z- 8 ( 2 k z + 1 ) o ，所 以 z 7 2 学 习研究版2我o 1
10、的6学 习发4现 关 于矩 阵在笛卡儿平面坐标 系中的两个应 用 杨 天朔 一 、定 义 内 ， 不 光 存 在 笛 卡 儿 平 面 坐 标 系 一 个 坐 标 系 ， 众 所 周 知 ， 矩 阵 的 定 义 是 一 个 按 照 长 方 笛 卡 儿 平 面 坐 标 系 只 是 最 特 殊 、 最 标 准 的 坐 阵 列 排 列 的 实 数 或 复 数 集 ， 一 般 我 们 常 研 究 标 系 ， 它 是 以 ( o， 1 ) 与 ( 1 ， o ) 为 基 底 的 。 在 这 a ” 个 平 面 内 ， 我 们 完 全 可 以 使 用 一 个 新 的 坐 标 实数矩阵 A i l ， A 称
11、为 m 行 系， 使之 以 b l 一( n， b ) 与 6 z 一( c ， d) 为基底 l 。 a I ( 其 中 a d c d 以 保 证 B一 b T b 存 在 逆 矩 n列 矩 阵 ， 简 称 m n 矩 阵 ， A ， 称 为 矩 阵 A 阵 ) 。 则 一 个 在 笛 卡 儿 平 面 坐 标 系 中 的 点 的 ( ) 元 而 且 aij R。P( z， ) 在 新 的 坐 标 系 中 的 坐 标 为 P ( z ， 量 ； 当 m 一 1时 ， 我 们 称 A 为 行 向 量 。 一 个 向 ， ) ， 其 中 量可以表示一个n 维空IN中的点的坐标。 I 一 。 矩
12、阵 是 可 加 可 乘 的 。如 果 A 、 B 都 是 m 通 过 换 基 ，或 者 说 换 底 ， 我 们 可 以将 原 来 矩 阵 ，C 为 n r 矩 阵 ， 则A - F B 一 在 笛 卡 儿 平 面 坐 标 系 中难 以 体 现 出 来 的 函 数 l 十0 十0 n l 图像 ( 更 笼统地 讲 ， 表达式 的 图像 ) ， 通 过变 换 1 i ； l ， A C 一 一 c ， 坐标系， 在z 平面内更加容易地展示。 +6 。 + 6 J 我们以 非标准方程形式的椭圆为例 。 其 中 E 一 ait 代 表 ( i ， J) 元 等 于 一 c 。 例 1 描 述 曲 线1
13、 3 z l O zy- F v z 一 7 2 的 矩 阵 ， AC 为 m r矩 阵 。 的形 状 。 由 于 2 1矩 阵 可 以 表 示 笛 卡 儿 平 面 坐 在 高 中知 识 范 围 内 ， 我 们 从 未 接 触 过 带 标 系 中 点 的 坐 标 ， 结 合 矩 阵 乘 法 ， 矩 阵 在 笛 卡 有 z 项 的 圆 锥 曲 线 。 但 是 ， 有 了 换 基 公 式 ， 儿 平 面 坐 标 系 中 有 诸 多 应 用 ， 比 如 ， 换 基 ( 转 我 们 可 以 尝 试 通 过 转 换 基 底 ， 将 z 项 “ 消 换 坐 标 系 ) 、 旋 转 等 。 去 ” ， 以
14、达 到 描 述 图像 性 质 的 目的 。 二、 换基( 转换坐标系) 令 B 为 R 的 一 组 基 ， B 一 6 ， 6 z ， ， 令 B l 2 2 l ， 则 新 坐 标 系 坐 标 与 ，令 阵 B 6 一 ， 6 。 则 R 中 任 l f 何一个 向 量 都 可 以 1 恹4 1 ，t M F ： 以I B 为 基 的新 向量 ， 并且 e B _ 1 。 笛卡儿平面坐标系坐标之间的关系为【 l 一 我 们 最 关 注 笛 卡 儿 平 面 坐 标 系 。在 平 面 一 ， m A L+L 以丽 I Q A I 一 一 蝴在与 一 -z1z一 2 U 点 P 不 同 的 定 点Q ( 0 2)使 得 一 又 因 为 点 B 关 于 轴 的 对 称 点 B 的 恒 成 立 。 坐标 为 ( 一 z ， ) Q 一 兰 一 生 一 上 只 是 简 单 的 应 用 ， 在 圆 锥 曲 线 的 大 1， 一2 是z 一1 ，1 多 数 题 目 中 设 而 不 求 思 想 都 有 广 泛 的 应 用 ， 息 一 是 一_ 二 二 一_ 一一患 十 一 因此我们要灵活掌握。 一 ，所 以 走 Q 一 是 ， 即 Q 、 A 、 B 三 点 共 作 者 单
