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1、教 教 案例点评 2 0 1 3年 7月 圆锥 曲线统一定义的探索历程 江苏省连云港市新浦 中学李 萌 新课标人教A 版 数学选修教材2 1 中只介绍了椭 网、 双曲线 、 抛物线的第一定义， 也就是说学生只知道抛 物线准线的概念及准线方程 ， 而不知道椭圆、 双曲线准线 的概念及其准线方程 但近年来无论是各地市的调研题 、 模拟题，还是全国高考题在解析几何考题上都或多或少 的涉及到与椭圆、 双曲线的准线相关的问题 面对这种情 形 ， 我们大多数一线教师( 包括笔者) 的做法就是将圆锥 曲线统一定义强行推销给学生，并通过大量习题的练习 强化巩固， 这样的做法一方面违背了新课程理念， 新课程 在
2、圆锥曲线章节中删去了圆锥曲线的统一定义，而我们 又毫不保留的推销给学生并通过重复习题的练习强化 、 深化 ， 无疑加重了学生学习的负担； 另一方面， 由于学生 接受新知识， 形成新概念需要有一个经历的过程 ， 直接的 推销等于把新知识灌输给学生， 那么学生真的懂了吗? 真 的接受了吗?回首展望 ， 冷静反思， 留给学生更多的是这 个定义怎么来的? 基于上述原因，笔者进行仔细斟酌、认真的思考研 究， 认为应从椭圆、 双曲线的第一定义出发引导学生来探 索圆锥曲线的统一定义，或者从抛物线的定义出发来探 索圆锥曲线的统一定义更加切合学生思维的最近发展 区， 消除学生之前的种种疑惑 一、从椭 圆、 双
3、曲线的定义出发去探索圆锥 曲线的统 一定 义 1 从椭 圆的第一定义 出发探索椭圆的第二定义 新课标教材A 版 数学 选修2 1 在第3 8 页给出椭圆 的定义：平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数 ( 大于l 1 ) 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆 的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 如何从上述定义中找出椭圆的准线，探索出椭圆的 第二定义呢?我们可以引导学生从建立椭圆方程开始 设M( x ， Y ) 是椭 圆上任意一点 ， 椭圆的焦距为2 c ( c 0 ) ， 那么焦点 ， 的坐标分别为( 一 C ， 0 ) ， ( C ， 0 ) 又设 与 ， 的距离的和等于2 由椭圆的
4、定义知a c l l 曩 中。 擞 - ?高 中 版 由椭 圆的定义得方程 、 + 、 = 2 仉 对方程的左边施行分子有理化得 ：2 。 亿 瓣一 、 二 瓣 对上式化简整理得 、 亿 研一 “( X - C -) 2 + y 2 ： 2 c x 由与联立 解得、 = 竺 + 。 ， 、 = 。 一 方程 ： + n 可化为 研= e H一 等 一 等 其中e = 式子 、 的几何意义是点 与点 间的距 离 ，式 子 一 (一 等 ) l的 几 何 意 义 为 点 到 直 线 z： 一 等 的 距 离 因此方程、 ： + 。 表示平面内到定点 的 距离和它到定直线z ( 点 不在直线1 上
5、) 的距离之比是常 数e ( O 6 0 ) 有两条准线 ， 准线方程 矿 D 2 0 1 3 年 7月 案例点评 为x = - - 一 a 2 C 2 从双 曲线的第一定义 出发探 索双 曲线的第二定义 对于双曲线， 我们可引导学生类 比椭圆的探索方法 ， 将新课标教材A 版 数学 选修2 1 第5 2 页给出双曲线的 定义等价的叙述为 ：平面内到定点F 的距离和它到定直 线f ( 点环 在直线址 ) 的距离之比是常数e ( e 1 ) 的点的轨 迹是双曲线 点腚 焦点， 直线z 是准线， e 是离心率( 双曲线 的第二定义) 同样的， 双曲线 一 ： 1 ( n 0 ， 6 0 ) 有两条
6、准线 ， 准 旷 D 2 线方程为 = C 这样 ， 我们结合抛物线的定义及椭 圆、 双曲线 的第 二定义 ， 会得到圆锥 曲线的统一定义 ： 平面内到定点F 的距离和它到定直线z ( 点环 在直线f 上) 的距离之比是 常数e 的点的轨迹是圆锥曲线 ， 其 中腥 焦点， 直线z 是准 线 ， e 是离心率 (I) 当0 1 时 ， 圆锥曲线是双 曲线 ； ( ) 当e = 1 时 ， 圆锥 曲线 是抛物线 二 、 从抛物线 的定义出发来探索圆锥 曲线的 统 一定 义 新课标教材A 版 数学 选修2 1 在第6 5 页给出了抛 物线的定义 ： 平面内与一个定点聊 一条定直线f ( 点环 在直线
7、Z 上 ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点F , q 做抛 物线的焦点， 直线l “ q 做抛物线的准线 那么， 椭圆、 双曲线是否也能通过到定点的距离与到 定直线的距离之间的关系来定义呢?我们引导学生做如 下的探索 类 比抛物线的定义先进行合理猜想 ：平面内到一个 定点F 的距离是它到一条定直线f ( 点环 在直线f 上 ) 距离 的A ( A 0 ) 倍的点的轨迹是圆锥曲线 ， U 做焦点 ， 直线z 叫 做准线 这个猜想是否成立?需要大家去验证 验证： 为了和抛物线方程的建立相一致 ， 我们取经过 点殂 垂直于直线z 的直线为 轴， 垂足为K， 并使原点与线 段K 瑚 中点重合， 建立
8、直角坐标系 设I K F I ( p 0 ) ， 那 么 焦 点 F 的 坐 标 为( ， 0 ) ， 准 线f 的方程为 一p 材 法 锄 y ) ，财 有 斗 化 简 整 理 得 ( 1 一 A ) ( 1 + A ) + = 譬 ( A 一 1 ) ( i) 若A = I ， 方程表示抛物线Y = 2 p ( p 0 ) ( i i ) 若O 0 ， 6 0 ， 。 0 ) b 2 一p 2 A2 a 2 一p 易解得A ： C z ；，即A ： ： e ， p ： a c 从 而 方 程 可 化 为 ( a 22+ c2 C 。 + 吾 = 1 ，r 将 坐 标 原 点 平 移 到 点
9、 ( a 2+ c 2 ， 0 ) ， 则 上 面 的 方 程 转 化 为 + = 1 ( a b O ) ， 这是椭圆的标准方程 C D 准 线 f ： 一 号 = 一 2 c 转 化 为 = 一 b 2 a2+ c 2= 一 等 ，焦 点 的 坐 标 由 ( 号 ， 0 ) 转 化 为 ( 一 c ， 0 ) ( i i i ) 若A I ， 则方程可化为 x+P( 1+ A a) 。 筹 ： ， ： ， C ： ( ， 6 0 ， c 0 ) = = = 旷+ D 0 U D U U b 0 p p 、 易解得A z ： C Z，即A ： ： e ， p ： ， 从而方程可化为 a c
10、a 2 +c2 一 将 坐 标 原 点 平 移 到 点 ( 一 警 ， 0 ) ， 则 上 面 的 方 程 转 化为 一 ： 1 ( a O ， 6 0 ) ， 这是双曲线的标准方程 D 准 线 f ： = 一 号 = 一 2 c 转 化 为 f ： = 一 + = a 2 ， 焦 点 的 坐 标 由 (号 ， 0 ) 转 化 为 ( c ， 0 ) 当然的， 为了简洁方便 ， 我们建立合适的坐标系， 如 设 c ， 。 ) ， f ： = a 2，那么就容易得到椭圆或双曲线的标准 方程 综上可知， 猜想成立 于是我们就得到圆锥曲线的统 高 中 版 中 ? 擞-? 鬻 教 教 案例点评 2 0
11、 1 3年 7月 小公式 ， 大作用 从一道课 本例题说起 江苏省扬州 中学陈黎 黎 一、问题 呈 现 苏教版高中数学教材必修4 第2 Z 3 节有这样一道例题 ： 如图1 所示 ， AO A B 中， C 为直 线A B e-点 ， = A ( A一 1 ) ， 粗 ： l+ A = 原书证明过程如下： 图 1 因为 ： 一 ， ： 一 ， 又 ： A 商 ， 所以 一 ： A ( 一 ) ， 即( I + A ) ： + A 又因为A 一 1 ， 即l + AD ， 所以 ： OA +a O 一个简洁 漂亮的 结论 ： ! ! 在教学过程中 许多老师和同学证明完毕之后却对它置之不理 ， 不
12、免对它 产生一种孤独的美感 ， 实在可惜 ! 此结论告诉我们什么? 它在结构上有何特点? 在向量 的知识体系中占据什么样的地位? 有着什么样的作用? 笔 者对它产生了兴趣， 今作此文与读者探讨交流 二 、 结论解读 结论 ： 说的是四个点 ： 三点共线 ， 一点在 线外它告诉 了我们如何确定直线上任一点的位置 若 设A( Y ) 、 B( Y ) 、 C ( x ， Y ) ， 代入此结论便得定 比分 点公式的坐标式 ，故此结论被称为定比分点的向量式 此向量式不仅包容了坐标式 ， 同时由于向量 自身具备一 些特性， 因此用它来解决某些数学问题会带来极大的便 利 定 比分点的向量式是由 = A
13、( A一 1 ) 经过变形 重新整理得到， 由此它与平面向量共线定理是等价的， 解 题时用到平面向量共线定理的地方常常也可以用它替 换， 比如三点共线情形下的相关问题 定比分点的向量式与平面向量基本定理是特殊与一 般的关系 平面向量基本定理中的基向量前的系数没有制 约， 而定比分点向量式的基向量前的系数和却等于1 由证 明的过程不难发现这正是由 、 C 、 B 三点共线导致的 反 之 ，该结论的逆命题也是成立的 ( 逆推结论的证明过程 即得 ) 重新改写如下： 共起点的三个向量 、 、 ， 且 ： A 枷 ， 则 A、 B、 c 三点共线舒A 机= 1 三 、 结 论 应 用 1 系数和问题
14、此类问题中的若干向量以平面向量共线定理或平面 一定义 ： 平面内到定点F 的距离和它到定直线f ( 点环 在 直线z 上) 的距离之比是常数e 的点的轨迹是圆锥曲线 ， 其 中腥 焦点， 直线f 是准线， e 是离心率 ( I) 当0 l 时， 圆锥曲线是双曲线 ； ( ) 当 e = l 时， 圆锥曲线是抛物线 三、 结语 维果茨基的“ 最近发展 区理论” ， 认为学生的发展有 两种水平 ： 一种是学生的现有水平 ， 另一种是学生可能 豢 熬 中。? 擞?高 中 版 的发展水平 两者之间的差距就是最近发展区 因此我们 的教学 ， 只有针对学生思维的最近发展区的教学 ， 才能 促进学生的发展 圆锥曲线统一定义的探索是在学生已有的圆锥曲线 第一定义的知识基础上进行的教学 ， 通过教师的引导 ， 学 生的参与探索，使他们零距离的感受到圆锥曲线统一定 义的形成不是“ 无本之木 ， 无源之水” ， 而是在已有知识的 基础上自然形成的，这样的教学能促使学生创新能力的 发展 ， 提高学习数学的兴趣
