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1、 实数 因式分解 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练 要点、考点聚焦2.因式分解的几种常用方法 (1)提公因式法 (2)运用公式法： 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2 (3)二次三项式型：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) (4)分组分解法： 分组后能提公因式； 分组后能运用公式.1.因式分解的定义 把一个多项式化为n个整式的积的形式，叫做把这个 多项式因式分解式分解因式.3.因式分解的一般步骤 可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”： (1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有 必须先提出来.
2、(2)二“套”：若多项式的各项无公因式(或已提出公 因式)，第二步则看能不能用公式法或用x2+(p+q)x+pq 型分解. (3)“三分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解 法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组 后能“提”或能“套”，当然要注意其要分解到底才能 结束. (4)四“查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是 否正确. 要点、考点聚焦3.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )A.x2-y B.x2+2xC.x2+y2 D.x2-xy+y2 课前热身1.(2004年南京)分解因式：3x2-3= . 2.(2004河北)分解因式：X2+2xy+y2-4= . 3(x
3、+1)(x-1)(x+y+2)(x+y-2)B4.(2004年济南)分解因式：a2-4a+4= . (a-2)25.(2004年桂林)分解因式：a3+2a2+a= .6.(2004年呼和浩特)将下列式子因式分解x-x2-y+y2= .a(a+1)2(x-y)(1-x-y) 课前热身7.(2004年大连试验区)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0 的两根为为x11，x22，则则x2+bx+c分解因式的结果为：. 8.(2004年北京市)分解因式： x2-4y2+x-2y= . (x-2y)(1+x+2y) 课前热身（x-1）(x-2) 典型例题解析【例1】 因式分解：(1)-4x2y+2xy2
4、-12xy；(2)3x2(a-b)-x(b-a)；(3)9(x+y)2-4(x-y)2；解： (1)原式=-2xy(2x-y+6)(2)原式=3x2(a-b)+x(a-b)=x(a-b)(3x+1)(3)原式=3(x+y)+2(x-y)3(x+y)-2(x-y)=(5x+y)(x+5y)解：(4)原式=(9a2)2-1=(9a2+1)(9a2-1)=(3a+1)(3a-1)(9a2+1) 典型例题解析【例1】 因式分解：(4)81a4-1；(5)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；(6)(a2+b2)2-4a2b2.(5)原式=(x2+2x+1)2=(x+1)4(6)原式=(a+b2+2a
5、b)(a2+b2-2ab)=(a+b)2(a-b)2【例2】 因式分解：-3an-1+12an-12an+1 (n1的正整数). 解：原式=-3an-11-4an-(n-1)+4a(n+1)-(n-1)=-3an-1(1-4a+4a2)=-3an-1(2a-1)2【例3】 因式分解： (1)m3+2m2-9m-18； 典型例题解析解：(1) 原式=(m3+2m2)-(9m+18)=m2(m+2)-9(m+2)=(m+2)(m2-9)=(m+2)(m-3)(m+3)或者： 原式=(m3-9m)+(2m2-18)=m(m2-9)+2(m2-9)=(m2-9)(m+2)=(m-3)(m+3)(m+2
6、)解： (2)原式=a2-(b2+2bc+c2)=a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b-c)(3)原式=(x2)2-5(x2)+4=(x2-4)(x2-1)=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)(4)原式=x3-x2-x2-5x+6=x2(x-1)-(x2+5x-6)=x2(x-1)-(x+6)(x-1)=(x-1)(x2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2) 典型例题解析【例3】 因式分解： (2)a2-b2-c2-2bc； (3)x4-5x2+4； (4)x3-2x2-5x+6.【例4】 求证：对于自然数n，2n+4-2n能被30整除. 解：2n+4-2n=2n(2-1)=2
7、n(16-1)=152n=1522n-1=302n-1. n为自然数时，2n-1为整数， 2n+4-2n能被30整除.【例5】 分解因式：x3+6x2+11x+6. 解：方法一：原式=x3+3x2+3x2+9x+2x+6=x2(x+3)+3x(x+3)+2(x+3)=(x+3)(x2+3x+2)=(x+3)(x+1)(x+2) 典型例题解析方法二：原式=x3+2x2+4x2+8x+3x+6 =x2(x+2)+4x(x+2)+3(x+2) =(x+2)(x2+4x+3) =(x+2)(x+1)(x+3)方法三：原式=x3+x2+5x2+5x+6x+6 =x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1
8、) =(x+1)(x2+5x+6) =(x+1)(x+2)(x+3) 方法四：原式=(x3+5x2+6x)+(x2+5x+6) =x(x2+5x+6)+(x2+5x+6) =(x2+5x+6)(x+1) =(x+2)(x+3)(x+1) 典型例题解析1.因式分解应进行到底. 如：分解因式：x4-4=(x2+2)(x2-2) =(x2+2)(x+ )(x- ). 应在实数范围内将它分解到底. 又如：分解因式:22-8x-6=2(x2-4x-3) 令x2-4x-3=0，则 x= = =2 2x2-8x-6=2(x-2+ )(x-2- )2.不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原. 如:(a2
9、+b2)-4a2b2=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)=(a+b)2(a-b)2=(a+b)(a-b)2=(a2-b2)2=a4-2a2b2+b4 实际该题到第2个等于号就分解到底了，不能再向下 计算了!3.注意解题的技巧的应用，不能死算. 如：分解因式(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9 =(x+1)(x+7)(x+3)(x+4)-9 =(x2+8x+7)(x2+8x+15)-9 =(x2+8x)+7(x2+8x)+15-9 =(x2+8x)2+22(x2+8x)+105-9 =(x2+8x)2+22(x2+8x)+96 =(x2+8x +6)(x2+8x +16) =(
10、x2+8x+6)(x+4)2 课时训练1.(2004年福州市)分解因式：a2-25= .2. (2004年陕西)分解因式：x3y2-4x= .3. (2004年长沙)分解因式：xy2-x2y= . x(xy+2)(xy-2)(a+5)(a-5)xy(y-x) y(x-2)24. (2004年青海)分解因式：x2y-4xy+4y= . 5. (2004年哈尔滨)分解因式：a2-2ab+b2-c2= . (a-b+c)(a-b-c)7. (2004年北京)多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果为( )A. (a-b)(a+b+c) B. (a-b)(a+b-c)C. (a+b)(a+b-c)
11、D. (a+b)(a-b+c)8. (2004年宁夏)把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果为 ( )A.(1-x-y)(1+x-y) B.(1+x-y)(1-x+y)C.(1-x-y)(1-x+y) D.(1+x-y)(1+x+y)AB 课时训练6. (2004年甘肃)为使x2-7x+b在整数范围围内可以分解 因式，则则b可能取的值为值为 . （任写一个）davidasm课程标准及学习目标1、实数课标要求 (有的放矢)(1)有理数理解有理数的意义，能用数轴上的点 表示有理数，会比较有理数的大小。借助数轴理解相反数和绝对值的意义 ，会求有理数的相反数与 绝对值(绝对值 符号内不含字母)。
12、理解乘方的意义，掌握有理数的加 、减、乘、除、乘方及简单的混合运算以三 步为主)。 理解有理数的运算律，并能运 用运算律简化运算。能运用有理数的运算解决简单 的问题。能对含有较大数字的信息作出 合理的解释和推断。参见例1 (2)实数 了解平方根、算术平方根、立 方根的概念，会用根号表示数的平方 根、立方根。 了解开方与乘方互为逆运算， 会用平方运算求某些非负数的平方根 ，会用立方运算求某些数的立方根， 会用计算器求平方根和立方根。了解无理数和实数的概念，知 道实数与数轴上的点一一对应。能用有理数估计一个无理数的 大致范围。参见例2 了解近似数与有效数字的概念； 在解决实际问题中，能用计算器进
13、行近似计算，并按问题的要求对结 果取近似值。了解二次根式的概念及其加、减 、乘、除运算法则，会用它们进行 有关实数的简单四则运算(不要求分 母有理化)。例1在下列实数中,无理数共有( )A2个 B3个 C4个 D5个一、实数的分类(基本概念)：C有 理 数 总 复 习一、有理数的基本概念二、有理数的运算1.负数 2.有理数 3.数轴 4.互为相反数 5.互为倒数 6.有理数的绝对值 7.有理数大小的比较 8.科学记数法、近似数与有效数字加、减、乘、除、乘方运算一、有理数的基本概念1.负数： 在正数前面加“”的数；0既不是正数，也不是负数。判断：1）a一定是正数；2）a一定是负数；3）（a）一定
14、大于0；4）0是正整数。2.有理数 ：整数和分数统称有理数有理数整数分数正整数（自然数）零 负整数 正分数 负分数有理数正有理数零负有理数正整数（自然数）正分数负整数负分数3.数 轴规定了原点、正方向和单位长度的直线.1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数；-3 2 1 0 1 2 3 43）所有有理数都可以用数轴上的点表示。4.相反数 只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。 1）数a的相反数是-a2）0的相反数是0. -4 -3 2 1 0 1 2 3 4-22-443）若a、b互为相反数，则a+b=0. （a是任意一个有理数）；5.倒 数 乘积是1的两个数互为倒数 .1）a的倒数是 （a0）； 3）若a与b互为倒数，则ab=1.2）0没有倒数 ；例：下列各数，哪两个数互为倒数？8， ，-1，+（-8），1，6.绝对值一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。1）数a的绝对值记作a; 若a
