《知识教学点正弦函数和余弦函数的性质定义域、值域、周》由会员分享,可在线阅读,更多相关《知识教学点正弦函数和余弦函数的性质定义域、值域、周(13页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、29 正弦函数、余弦函数的图象和性质(二)一、素质教育目标 (一)知识教学点 正弦函数和余弦函数的性质:定义域、值域、周期性、 奇偶性、单调性 (二)能力训练点 1经过观察和推证揭示正弦函数和余弦函数的性质 2应用正弦函数和余弦函数的性质解决一些简单的问题 (三)德育渗透点 在揭示正弦函数和余弦函数的性质的过程中,注意培养 学生多观察、勤思考、善应用的品格 二、教学重点、难点、疑点及解决办法 (一)教学重点:正弦函数y=sinx,xR的性质 (二)教学难点:周期函数的概念 (三)教学疑点:周期函数是否一定有最小正周期 三、课时安排 本课题安排1课时四、教与学课程设计 (一)复习正弦函数、余弦函
2、数的图象 师:上一节课我们研究了正弦函数、余弦函数的画法 ,现在请一位同学来讲怎样画正弦函数和余弦函数的 图象(师用幻灯打出正弦函数、余弦函数的图象) 生:在直角坐标系的x轴上任取一点O1,以O1为圆心 作单位圆,从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份 ,作出对应于角O1 分成12等份,把角x的正弦线向右平行移动,使得正 弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点 就是正弦函数图象上的点,连线即得正弦函数y=sinx ,x0,2的图象余弦函数的图象,只要把余弦 线“竖立”起来,就同样可以得到余弦函数y=cosx, x0,2的图象然后向左、右平移 师:回答正确今天,我们要研究正弦函数和余
3、弦函 数的性质 (二)正弦函数和余弦函数的性质 师:我们观察正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx,它 们的定义域是什么?生:都是(-,+) 师:值域是什么? 生:都是-1,1 师:最值是什么?当x为何值时,取得最佳?函数y=cosx在x=2k,kZ时取最大值y=1;在 x=(2k+1),kZ时取最小值y=-1 师:观察正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx,发现它 们的值按照一定的规律不断重复出现由诱导公式 sin(x+2k)=sinx,cos(x+2k)=cosx(xR),也能知 道它们的值按照一定的规律不断重复出现这就是它 们的一个重要性质 一般地,对于函数y=f(x),如果存在
4、一个不为零的常 数下,使得当x取定义域内的每一个值时, f(x+Y)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函 数,不为零的常数T叫做这个函数的周期例如,对于正弦函数y=sinx,xR来说,2,4,-2,-4 ,都是它的周期,一般地,2k(kZ,且k0)都是 它的周期对于一个周期函数来说,如果在所有的周 期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫 做最小正周期例如,2是正弦函数y=sinx,xR的 所有周期中的最小正数,因而2是这个函数的最小正 周期 正弦函数y=sinx,xR和余弦函数y=cosx,xR都是 周期函数,2k(kZ,且k0)都是它们的周期,最小 正周期是2 今后读
5、到三角函数的周期时,一般指的是三角函数的 最小正周期 师:现在我们来研究正弦函数和余弦函数的多奇性 什么叫做奇函数?什么叫做偶函数? 生:如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(- x)=f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫做偶函数师:正弦函数和余弦函数是奇函数还是偶函数?为 什么? 生: sin(-x)=-sinx, 正弦函数y=sinx, xR是奇函数 cos(-x)=cosx, 余弦函数y=cosx,xR 是偶函数 师:回答正确我们还要知道它们的图象的特征, 正弦函数是奇函数,则正弦曲线关于原点O对称;余
6、 弦函数是偶函数,则余弦曲线关于y轴对称减小到-1 由正弦函数的周期性可知:(kZ)上,都从1减小到-1,是减函数也就是说,正弦 函数y=sinx 观察余弦曲线可得到什么结论? 生:由余弦曲线可以看出,函数y=cosx在每一个闭区间 (2k-1),2k(kZ)上都从-1增大到1,是增函数;在 每一个闭区间2k,(2k+1)(kZ)上,都从1减小到-1 ,是减函数也就是说,余弦函数y=cosx的单调 区间是 (2k-1),k及2k,(2k+1),(kZ) 师:完全正确上面我们研究了正弦函数和余弦函数的五 个性质:定义域,值域,周期性,奇偶性、单调 性下 面请同学们做几起练习 (三)例题例1 求使
7、下列函数取得最大值的x的集合,并说出最大值是 多少? (1)y=2sinx,(2)y=cosx+2,(3)y=sin2x,(4)y=3cos2x函数y=2sinx的最大值为2 (2)使y=cosx+2取最大值的x的集合为x|x=2k,kZ,函数 y=cosx+2的最大值为3(4)2x=2k,x=k 使y=3cos2x取最大值的x的集合为x|x=k,kZ,函数 y=3cos2x的最大值为3 例2 求下列函数的周期:解:(1)因为sinx的最小正周期是2,所以当自变量 x(xR)增加到x+2且必须增加到x+2时,函数sinx 的值重复出现,函数3sinx的值也重复出现,因此 y=3sinx的周期是
8、2 (2)把2x看成是一个新的变量z,那么z的最小正周期 是2,就是说,当z增加即z+2且必须增加到z+2时 ,函数cosz的值重复出现,而z+2=2x+2=2(x+), 所以当x增加到x+且必须增加到x+时,函数值重复 出现,因此y=cos2x的周期是师:我们看到,例2中函数周期的变化仅与自变量x的函 数有关一根据这个结论,我们可以由正弦函数式或余弦函数式直 接写出它的例3 判定下列函数是偶函数,还是奇函数,或者都不 是 (1)y=xsinx,(2)y=|sinx|,(3)y=cos2x+secx, (4)y=sinx+cosx,解:(1) f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x
9、), y=xsinx为偶函数 (2) f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x), y=|sinx|为偶函数 (3) f(-x)=cos2(-x)+sec(-x)=(cos2x+secx=f(x) , y=cos2x=secx为偶函数 (4)都不是 (5)y=sin(+x)=-sinx f(-x)=-sin(-x)=sinx=- f(x),y=sin(+x)为奇函数例4 不通过求值,指出下列各式大于零,还是小于零(四)总结 本节课我们学习了正弦函数和余弦函数的性质:定义 域、值域、周期性、奇偶性、单调性,以及它们的简 单应用 五、作业 P191中3、4、5(1)、6、7 六、板书设计七、参考资料