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1、数学物理方法傅立叶变换2021/8/20傅里叶生平傅里叶生平n1768年生于法国年生于法国n1807年提出年提出“任何周任何周期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函数的级数表示数的级数表示”n1822年发表年发表“热的分热的分析理论析理论”，首次提出，首次提出“任何非周期信号都任何非周期信号都可用正弦函数的积分可用正弦函数的积分表示表示”2021/8/21傅立叶变换n傅立叶级数n傅立叶变换n狄拉克函数n本章小结2021/8/22傅立叶级数n三角级数定义n由周期为2l的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数n基本函数族组成：1，cos(nx/l)， sin(nx/l)性质：任意两个在一个周期上的积
2、分等于0，称为正交性；2021/8/23傅立叶级数n傅立叶展开傅立叶展开定理：n周期为2l的函数f(x) 可以展开为三角级数，n展开式系数为n狄利克雷收敛定理 收敛条件在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； 在一个周期内至多只有有限个极值点。 收敛结果当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值； 当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。 2021/8/24其它形式的三角函数正交完备集其它形式的三角函数正交完备集2021/8/25傅立叶级数展开的复数形式n展开公式：基本函数族：正交性：展开系数：2021/8/26若已知若已知 是以是以 为周期的周期函数，且满足为周期的周期函数，且满足狄利
3、狄利克雷条件，则可展成傅里叶级数克雷条件，则可展成傅里叶级数 其中其中 ,我们将我们将 称为称为 的第的第次次谐波波，称称为第第次次谐波的波的频率率频谱频谱2021/8/27由于由于其中其中 称为初相，称为初相， 称为第称为第 次谐波的振幅，记为次谐波的振幅，记为 ，即，即 2021/8/28若将傅里叶级数表示为复数形式，即若将傅里叶级数表示为复数形式，即其中其中 恰好是恰好是 次谐次谐波的振幅的一半波的振幅的一半.我们称我们称 为为复振幅复振幅.显然显然 次谐波的振幅次谐波的振幅与复振幅有下列关系：与复振幅有下列关系：2021/8/29当取当取 这些数值时，相应有不同的频率这些数值时，相应有
4、不同的频率 和不同的振幅，描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况和不同的振幅，描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况频谱图通常是指频率和振幅的关系图频谱图通常是指频率和振幅的关系图. 称为函数称为函数 的的振幅频谱（简称频谱）振幅频谱（简称频谱）. 若用横坐标表示频率若用横坐标表示频率 ，纵坐标表示振幅，纵坐标表示振幅 ，把点，把点 2021/8/210用图形表示出来，这样的图用图形表示出来，这样的图形就是频谱图形就是频谱图. 由于由于 ,所以频谱所以频谱 不连续的，称之为不连续的，称之为离散频谱离散频谱的图形是的图形是2021/8/211正弦级数和余弦级数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅
5、里叶级数定理定理 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里里叶级数为余弦级数 ,它的傅里里叶系数为正弦级数,它的傅里里叶系数为2021/8/2122. 2. 在在在在0,0, 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓 F (x) f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成2021/8/213例例1.1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为解解: 先求傅
6、里里叶系数将 f (x) 展成傅里里叶级数. 2021/8/2142021/8/2151) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于2) 傅氏级数的部分和逼近说明说明: :f (x) 的情况见右图.2021/8/216周期延拓周期延拓傅傅里里叶展开叶展开上的傅里里叶级数定义在定义在定义在定义在 , , 上的函数上的函数上的函数上的函数 f f ( (x x) )的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法其它2021/8/217例例2.2. 将函数将函数将函数将函数级数 .则解解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里里叶2为周期的函数 F(x) , 2021/8/218利用此展式可求
7、出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得说明说明: :2021/8/219设已知又2021/8/220内容小结1. 周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 其中注意注意: 若为间断点, 则级数收敛于2021/8/2212. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0 , 上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .思考与练习2021/8/222傅立叶变换傅立叶变换n n傅立叶变换
8、的意义傅立叶变换的意义n n数学意义数学意义n n从一个函数空间从一个函数空间( (集合集合) )到另一个函数空间到另一个函数空间( (集合集合) )的映射；的映射；n nf(x)f(x)称为变换的原函数称为变换的原函数( (相当于自变量相当于自变量) )，F()F()称为象函数。称为象函数。n n应用意义应用意义n n把任意函数分解为简单周期函数之和，把任意函数分解为简单周期函数之和，F()F()的自变量为频率，的自变量为频率，函数值为对应的振幅。函数值为对应的振幅。n n物理意义物理意义n n把一般运动分解为简谐运动的叠加；把一般运动分解为简谐运动的叠加；n n把一般电磁波把一般电磁波(
9、(光光) )分解为单色电磁波分解为单色电磁波( (光光) )的叠加。的叠加。n n物理实现物理实现n n分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪；分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪；n n记录方式：记录方式：( (用照相底版用照相底版) )摄谱仪、摄谱仪、( (用光电探测器用光电探测器) )光度计。光度计。2021/8/223傅立叶变换n非周期函数的傅立叶展开问题：n把定义在（，）中的非周期函数 f (x)展开；思路：n把该函数定义在（L，L）中的部分展开，再令L；实施：n展开公式展开系数：n困难展开系数 cn 为无穷小；幂指数 nx/L 不确定。2021/8/224傅立叶变换解决方法：n把 n/L 作
10、为新变量，即定义n = n/L ；n把 cnL/作为新的展开系数，即定义F(n)=cnL/.公式的新形式：n展开公式：展开系数：n取极限：傅立叶变换：傅立叶积分：2021/8/225傅立叶变换例题1求矩形脉冲 x (t) = rect(t/2T1)的傅立叶变换。解：2021/8/226傅立叶变换n例题2将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。解：先求出 f (t) 的傅立叶变换代入傅立叶积分公式，得2021/8/227n例题3求对称指数函数f(t)的傅立叶变换傅立叶变换2021/8/228傅立叶变换n傅立叶变换的性质一般假定nf(x) F()， g(x) G()奇
11、偶虚实性nf(x)为偶函数，F()=f(x)cos(x)dx/(2)为实函数；nf(x)为奇函数，F()=-if(x)sin(x)dx/(2)为虚函数线性性质nk f(x) k F()；nf(x)+g(x) F()+ G() 分析性质nf (x) iF()；2021/8/229傅立叶变换位移性质nf(x-a) exp(-ia)F() ；nexp(ix)f(x) F(-)相似性质nf(ax) F(/a)/a；nf(x/b)/b F(b) 。卷积性质nf(x)*g(x)f()g(x-)d 2F()G()；nf(x)g(x) F()*G() F()G(-)d对称性质n正变换与逆变换具有某种对称性；n
12、适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显。2021/8/230傅立叶变换应用举例2021/8/231傅立叶变换n推广推广1n问题：把定义在 0, ) 上的函数 f(t)展开；n方法：先把它延拓为(-,)上的奇函数或偶函数， 再按公式进行傅立叶变换；n注意：偶函数满足条件f(0)=0，形式为 f(|t|)；奇函数满足条件f(0)=0，形式为 sgn(t)f(|t|).n结果：所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与f(t)一致。2021/8/232傅立叶变换推广2n问题：多元函数的傅立叶变换n公式：2021/8/233狄拉克函数n概念问题n质点的密度函数如何表示？思路n质点是物体在尺度趋于零时的
13、理想模型；n一个位于原点的单位质点，可以看成一个线密度为h rect(hx)的物体在宽度d=1/h趋向零时的极限；n极限密度为(x)=lim h h rect(hx)一般定义2021/8/234狄拉克函数2021/8/235狄拉克函数n性质奇偶性质n(-x)=(x)， (-x)=-(x)分析性质n选择性质nf(x)(x-a)dx=f(a)，f (x)(x-a)dx=-f(a)n变换性质2021/8/236狄拉克函数n狄拉克函数的应用描述功能n位于x=a处质量为m的质点，质量线密度为m(x-a)；n位于x=a处电量为q的点电荷，电荷线密度为q(x-a)；n位于t=a时刻强度为I的脉冲信号，信号函
14、数为I(t-a)；分解功能n质量密度为(x)的物体，可分解为质点的空间叠加 (x) = (a)(a-x)dan电荷密度为(x)的带电体，可分解为点电荷的空间叠加 (x) = (a)(a-x)dan信号函数为(t)的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加 (t) = (a)(a-t)da2021/8/237狄拉克函数n狄拉克函数的推广问题：n三维空间中的质点的密度、点电荷的电荷密度。三维狄拉克函数：n(r)=(x,y,z)=(x)(y)(z)应用n位于r=a处质量为m的质点，质量体密度为m(r-a)；n位于r=a处电量为q的点电荷，电荷体密度为q(r-a)；2021/8/238本章小结n傅立叶级数周期
15、函数的三角展开公式；基本三角函数的性质。n傅立叶变换非周期函数的三角展开公式；傅立叶变换的性质。n狄拉克函数狄拉克函数概念；狄拉克函数性质；狄拉克函数应用。2021/8/239本章作业第一节第一节第二节第二节第三节第三节基础题基础题6-16-2中等题中等题6-36-46-56-66-76-86-9难题难题6-106-116-122021/8/240例3. 设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解解: 若不计周期为 2 的奇函数, 因此2021/8/241n1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:级数的部分和 n2n3n4逼近 f (x)
16、 的情况见右图.n52021/8/242例4. 将周期函数展成傅里里叶级数, 其中E 为正常数 .解解:是周期为2 的周期偶函数 , 因此2021/8/2432021/8/244例5. 将函数分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,2021/8/245注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 , 与给定函数因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 2021/8/246再求余弦级数:将则有作偶周期延拓 ,2021/8/247说明说明: 令 x = 0 可得即2021/8/248部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
