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1、第第2020章章 薛定谔方程薛定谔方程20.1 20.1 波函数及几率解释波函数及几率解释经典的平面波为：利用一波函数一波函数描述微观粒子运动状态用波函数 （一维）来表示即为一个沿X轴正向运动的具有确定动量 P 和能量 E 的自由粒子的波函数。三维空间运动的微观粒子，用 表示 其波函数。微观粒子的波函数表示什么？微观粒子的波函数表示什么？经典物理中的机械波函数表示振移，而波强度表示 波的能流密度的时间平均值。对电磁波来说，波函 数表示或是电场强度或是磁场强度，而波的强度就 是坡印亭失量，这些都是可测量的量。二.波函数和概率波1.玻恩假定（1926）德布罗意波的物理意义是什么？爱因斯坦：关于电磁
2、波和光子的关系，提出电磁波振幅的平方 决定了在各处的单位体积内一个光子存在的概率玻恩：物质波是概率波2. 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义两缝同时打开依次打开一个缝电子确是粒子，但电子 的去向是完全不确定的 ，一个电子到达何处完 全是概率事件 这种概率在一定条件下（ 经双缝）有确定的规律a.双缝同时打开(1)入射强电子流(2)入射弱电子流概率波的干涉结果在波强强度较强的地方， 单个事件发生的概率大； 在波强强度较弱的地方单 个事件发生的概率小 1 2P1 2 2P2两缝同时打开依次打开一个缝 b .双缝依次打开上缝打开，下缝打开c.同时打开多了一个干涉项3. 状态叠加原理若体系具有一系列的可
3、能状态则也是可能的状态4. 波函数满足的条件（2） 归一化条件（1）自然条件：单值、有限和连续在汤姆逊电子衍射实验中，衍射图象上亮条纹处出 现的电子数目多。亮条纹处，即波强度大的地方，电子出现的概率就大；亮条纹处，即波强度大的地方，电子出现的概率就大；暗条纹处，即波强度小的地方，电子出现的概率就小。暗条纹处，即波强度小的地方，电子出现的概率就小。电子作为一个整体，只能在某处出现，决不会一半出现 在某处，而另一半出现在另外，这就是它的粒子性粒子性的表现。 但是，电子在某处出现的概率，却由波的强度来决定，这 就是它的波动性波动性的表现。实物粒子也具有波粒二象性实物粒子也具有波粒二象性电子在空间某处
4、出现的概率正比于物质波的强度电子在空间某处出现的概率正比于物质波的强度即微观粒子的物质波是概率波。即微观粒子的物质波是概率波。则物质波的概率密度为：由归一化条件物质波的概率密度：得 ：引入归一波函数此式表示物质波的波函数的物理意义：即：波函数波函数( (归一化的归一化的) )模的平方（即波强度）表模的平方（即波强度）表 示物质波的概率密度示物质波的概率密度。令 ：设归一化因子为C，则归一化的波函数为(x)= C exp(-2x2/2)计算积分得（）取 0，则归一化的波函数为 (x)=（） exp(-2x2/2)例：将波函数 归一化有了波，就应该有一个描述波的方程，德拜说。 方程应有下面的性质：
5、 1、方程应是线性的。即 与 是方程的解，那么 是方程的解，其中 是复数 2、能量动量关系一致 。与或没有矛盾 3、能量守恒。自由粒子或4、可以描述平面波 。5、一定条件下，与波动方程一致。6、粒子数守恒。7、应含有20.2 20.2 薛定谔方程薛定谔方程描述粒子运动的波函数和粒子所处条件的关系 首先由薛定谔得出，称为薛定谔方程。一动量为一动量为P P能量为能量为E E的自由粒子的薛定谔方程的建立的自由粒子的薛定谔方程的建立一维自由粒子物质波的波函数求导由可得自由粒子 的薛定谔方程上面式中得：算符：作用于一个函数上得出另外一个函数的符号 。如果算符 作用于一个函数 等于 乘一个常数 ， 即则：
6、 为本征值， 为本征函数， 方程为本征方程就是算符量子力学中用算符表示力学量。如果用 表示力学量 当体系处于 的本征态 时，力学量 有确定值，这 个值是 在 态的本征值。如:一维自由粒子的薛定谔方程薛定谔方程三维自由粒子的薛定谔方程薛定谔方程：式中：称为拉普拉斯算符二薛定谔一般方程二薛定谔一般方程当粒子处在势场中时，粒子的能量与上同样推导：非自由粒子的 薛定谔方程薛定谔方程引入哈密顿算符薛定谔一般方程：薛定谔一般方程：三定态薛定谔方程三定态薛定谔方程一般地当势场仅仅是空间坐标的函数时波函数可分解为：此时微观粒子所处的状态称为定态； 波函数称为定态波函数。满足的方程即是定态薛定谔方程定态薛定谔方
7、程。代入薛定锷方程得（1 1）（2 2）两边同除=E由（1）式可得：定态薛定谔方程定态薛定谔方程由（2）式可得：定态波函数在整个空间粒子的概率分布 是不随时间变化的，这就是 定态（稳定的态）定态（稳定的态）的含义。波函数必须是时间坐标的单值有限连续 函数，这称为波函数的标准条件（自然条件）。量子力学处理问题的方法1、分析、找到粒子在势场中的 势能函数U，写出薛定谔方程。2、求解 ，并根据初始条件、边界条 件和归一化条件确定常数。3、由 2 得出粒子在不同时刻、不同 区域出现的概率或具有不同动量、不同 能量的概率。 20.3 20.3 势阱中的粒子势阱中的粒子 一一. .一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子势函数波函数在阱内有值，在边界无值边界条件：1分析axU(x)=0a令 阱内：2定态薛定谔方程由通解为：由边界条件，可得：方程组具有非零解的条件是系数行列式应等于零即即 值只能取一些分立的值。得能量为：一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的，只能 取分立值，每一个可能的能量值叫做一个能级，n 称 为量子数，n1的能级叫基态，也称零点能零点能。 当 时，量子化 ？ 连续 最低能量(零点能) 波动性和利用归一化条件，可得归一化的波函数为：波函数波函数考虑边界条件：得和其中 ：概率密度：n1 E1n2 E2n3 E3红色表示概率密度红色表示概率密度基 态第一激发态第二激发态
