第二章 随机变量及其分布

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1、第二章 随机变量 及其分布第一节 随机变量及其分布函 数例1 设A是一个事件，令从而A=( =1)，P(A)=P( =1)例2 产品寿命测试： 设 表示产品寿命，则 是个变量 ，随不同的寿命取不同的值： 定义2.1 设是随机试验E的样本空间，若对每个有一个实数 和它对应，就得到一个定义在上的单值 实函数 ，我们称 为随机变量，记为 。一、随机变量的概 念随机变量与实函数比较：随机变量 ：定义域 ，实函数 ：定义域 两者区别：1. 试验之前只知道随机变 量的取值范围而不能预 知随 机变量具体取什么 值；2. 随机 变量的定义域- 样本空间一般不是数域 。随机变量一般用 或大写字母X，Y，表示 。

2、注意：对任一实数x，( )都是事件。二、随机变量 的分布函数及其基本性 质定义2.2 (教材 p 47)设 是随机变量， 是任意实数，称函数为 的分布函数。对于任意两实数 有分布函数的基本性质：1. F(x)是一个不减的函数；2. 03. F(x)是右连续的，即 F(x+0)=F(x)。 可以证明：若F(x) 满足以上性质，则必是 某随机变量的分 布函数 。随机变量落在几种常见区间的概率计算公式 ：1. P( x)=1-F(x)；3. P( x)=1-F(x-0)。第二节 离散型随机变量一、 离散型随机变量及其分 布定义2.3 (教材 p 39)设 为一随机变量，若 的所有可能取值为有限个或可

3、 列个，则称 为离散型随机变量。设 为离散型随机变量，其可能取值为 ，称为 的分布律(概率分布)。 离散型随机变量的分布 列p离散型随机变量的分布函数：其分布函数为一阶梯函数.离散型随机变量的基本性质： (教材 p 40)1. 0，k=1，2，2. =1 .例1 设随机变量 的分布列为1/4 1/4 1/4p-1 2 3 求 的分布函数，并计算P( )，P( ) ，P( )。二、几种常见的 离散型随机变量及其分 布1、0-1分布 (贝努利分布、两点分 布) (教材 p.41 )若随机变量 只取0，1两个值，其概率分布为P( =1)=p，P( =0)=1-p，(0n/(n+1)，则P( =k)单

4、调增加，在k=n处达 到最大；2) 若 p n/(n+1)，当m=(n+1)p为整数时，在k=m和k=m-1处 同时达到最大；若(n+1)p不为整数，则在k=(n+1)p处达到 最大。问题：设 B(n，p)，当k为何值时，P( =k)达到最大？3. 超几何分 布若离散型随机变量 的分布律为其中 NM，n N-M， s=minM，N，则称 服从超几 何分布。定理2.2在超几何分布中，设n固定不变，M依赖于N的变化，且极 限 存在 ，则有4. 泊松 (Poisson)分 布例A. 苏果超 市在南京的商业网点布 局例B . 电话总机在一 分钟收到的电话呼叫次 数 例C. 银行在每 段时间间隔到达的顾

5、客 数定义2.5 (教材 p46)若离散型随机变量 的分布律为则称 服从参数为 的泊松(Poisson)分布，记为 例 3. 公交公司为 合理调度车辆，要了解 一段时间内在 某车站候 车的乘客数。经市场调 查，发现某车站平均 每 半分钟有一名乘客到达 。现求：在任意5分钟 内1) 有不多于5名乘客 的概率；2) 多于10名乘客的概率 。定理2.3 (Poisson定理)设随机变量 ，其中 与试验次数n有关。 若 ，则 说明：一般，设 B(n，p)，当 时，就 可使用近似公式当 时近似公式近似效果更佳。 例4 某电脑公司要为其售出 产品配备售后服务人员 。 设售 出80台电脑 ，每台电脑发生故障

6、的 概率为0.01，且故 障能 由一人排除。公司 现欲在两种方案中进行 选择：第一种方案 是由 4人维护，每人负责2 0台；第二种方案是由 3人共同维 护80台。试比较这两 种方案在电脑发生故障 时不能及时维修的概率 。5. 几何分 布 定义2.6(若离散型随机变量 的分布律为则称 服从参数为p的几何分布。 第三节、连续型随机变 量 一 、连续型随机变量的概 念定义2.7(教材 51)设F(x) 为随机变量 的分布函数，若存在非负的函数f(x) ，使对一切实数x，都有则称 为连续型随机变量，称f(x)为 的概率密度函数(概率 密度、密度函数)。概率密度函数的性质 ：连续型随机变量与离散型随机变

7、量的区别：1) 连续型随机变量没有分布律；2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即结论： 设f(x)是非负函数，且满足关系式则f(x)必是某随机变量 的概率密度函数， 的分布函数为例1已知随机变量 的概率密度函数为求：1) 系数A；2) 3) 的分布函数 F(x).二、几种常见的 连续型随机变量及其分 布1. 均匀分 布 定义2.8 (教材 54)若连续型随机变量 的密度函数为则称 在区间(a，b)上服从均匀分布。的分布函数为 例2 设k在(0，5)服从均匀分布。求方程有实根的概率。2. 正态分 布若连续型随机变量 的密度函数为其中 ，则称 服从参数为 的正态分布(或称为正态变量)，记为 。

8、的分布函数 为 正态分布密度函数的性 质1. f(x)的函数曲线关 于x=对称，仅改变 ，不改变， 图形不 改变形状，仅平移位置 ，故又称为位置参数 。2. X=时， 为f(x)的最大值。当越小，图形 越尖，落在附近的概率越大。 3. f(x)的函数曲线在 x=处有拐点， 曲线以OX轴为 渐进线 。4. f(x)处处大于零， 且有各阶连续的导函数 。 当= 0，=1时，称服 从标准正态分布，其密 度函 数记为(x)， 分布函数记为(x) 。标准正态分布的性质 ：1. (-x)=(x) ；2. ( -x)=1-(x) 。若 ，设F(x)为的分布函数，则有定理2.4 若 正态分布的概率计算公式：设

9、例3. 设某产品的寿命(以小时计) 若要求P(1200.8，允许最大为多少? 3准则：(教材 p80 例6)设 ，则几乎落入区间(-3， +3)内。3. 指数分 布定义2.10 (教材p55)若连续型随机变量 的密度函数为则称服从参数为的指数分布。其分布函数为指数分布的无后效性(无记忆性):设服从参数为的指数分布，对任何s0, t0，有4. -分 布定义2.11 若连续型随机变量 的密度函数为则称服从参数为，的-分布，记为(，)。-函数的常用公 式 1. ()=( -1) (-1) ；2. (1)=1 ；3. (1/2)= . 特别，当 =1， (1，) 是参数为的指数分 布 。例4. 某产品

10、的寿命(以小时计) 具有以下的概率密度：现从一大批该产品中任取5只，问其中至少有2只寿命大于 1500小时的概率有多大？第五节 随机变量函数的分 布结论：设 是n维随机变量，是n元连续函数，则 是一维随机变量 ，称为 的函数。1. 离 散型随机变量函数的分 布设是离散型随机变量，其分布律为p又设y=g(x)是连续函数，则=g()也是离散型随机变量 ，其分布律为p说明：若有 则将其概率合并为 ，只写一个。2. 连 续型随机变量函数的分 布 例1(教材p65)设定理2.3 设连续型随机变量的密度函数为y=g(x)有反函数x=h(y)，则= g()也是连续型随机变量，其 密度函数为 其中：=ming(a)，g(b)，=maxg(a)，g(b).例2 设N(0，1)，求 的分布 。 例3 (2003年数学三、四考研试题十一题)设随机变量X的概率密度为F(x)是X的分布函数，求Y= F(X)的分布函数 。