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1、第二章 随机变量 及其分布第一节 随机变量及其分布函 数例1 设A是一个事件,令从而A=( =1),P(A)=P( =1)例2 产品寿命测试: 设 表示产品寿命,则 是个变量 ,随不同的寿命取不同的值: 定义2.1 设是随机试验E的样本空间,若对每个有一个实数 和它对应,就得到一个定义在上的单值 实函数 ,我们称 为随机变量,记为 。一、随机变量的概 念随机变量与实函数比较:随机变量 :定义域 ,实函数 :定义域 两者区别:1. 试验之前只知道随机变 量的取值范围而不能预 知随 机变量具体取什么 值;2. 随机 变量的定义域- 样本空间一般不是数域 。随机变量一般用 或大写字母X,Y,表示 。
2、注意:对任一实数x,( )都是事件。二、随机变量 的分布函数及其基本性 质定义2.2 (教材 p 47)设 是随机变量, 是任意实数,称函数为 的分布函数。对于任意两实数 有分布函数的基本性质:1. F(x)是一个不减的函数;2. 03. F(x)是右连续的,即 F(x+0)=F(x)。 可以证明:若F(x) 满足以上性质,则必是 某随机变量的分 布函数 。随机变量落在几种常见区间的概率计算公式 :1. P( x)=1-F(x);3. P( x)=1-F(x-0)。第二节 离散型随机变量一、 离散型随机变量及其分 布定义2.3 (教材 p 39)设 为一随机变量,若 的所有可能取值为有限个或可
3、 列个,则称 为离散型随机变量。设 为离散型随机变量,其可能取值为 ,称为 的分布律(概率分布)。 离散型随机变量的分布 列p离散型随机变量的分布函数:其分布函数为一阶梯函数.离散型随机变量的基本性质: (教材 p 40)1. 0,k=1,2,2. =1 .例1 设随机变量 的分布列为1/4 1/4 1/4p-1 2 3 求 的分布函数,并计算P( ),P( ) ,P( )。二、几种常见的 离散型随机变量及其分 布1、0-1分布 (贝努利分布、两点分 布) (教材 p.41 )若随机变量 只取0,1两个值,其概率分布为P( =1)=p,P( =0)=1-p,(0n/(n+1),则P( =k)单
4、调增加,在k=n处达 到最大;2) 若 p n/(n+1),当m=(n+1)p为整数时,在k=m和k=m-1处 同时达到最大;若(n+1)p不为整数,则在k=(n+1)p处达到 最大。问题:设 B(n,p),当k为何值时,P( =k)达到最大?3. 超几何分 布若离散型随机变量 的分布律为其中 NM,n N-M, s=minM,N,则称 服从超几 何分布。定理2.2在超几何分布中,设n固定不变,M依赖于N的变化,且极 限 存在 ,则有4. 泊松 (Poisson)分 布例A. 苏果超 市在南京的商业网点布 局例B . 电话总机在一 分钟收到的电话呼叫次 数 例C. 银行在每 段时间间隔到达的顾
5、客 数定义2.5 (教材 p46)若离散型随机变量 的分布律为则称 服从参数为 的泊松(Poisson)分布,记为 例 3. 公交公司为 合理调度车辆,要了解 一段时间内在 某车站候 车的乘客数。经市场调 查,发现某车站平均 每 半分钟有一名乘客到达 。现求:在任意5分钟 内1) 有不多于5名乘客 的概率;2) 多于10名乘客的概率 。定理2.3 (Poisson定理)设随机变量 ,其中 与试验次数n有关。 若 ,则 说明:一般,设 B(n,p),当 时,就 可使用近似公式当 时近似公式近似效果更佳。 例4 某电脑公司要为其售出 产品配备售后服务人员 。 设售 出80台电脑 ,每台电脑发生故障
6、的 概率为0.01,且故 障能 由一人排除。公司 现欲在两种方案中进行 选择:第一种方案 是由 4人维护,每人负责2 0台;第二种方案是由 3人共同维 护80台。试比较这两 种方案在电脑发生故障 时不能及时维修的概率 。5. 几何分 布 定义2.6(若离散型随机变量 的分布律为则称 服从参数为p的几何分布。 第三节、连续型随机变 量 一 、连续型随机变量的概 念定义2.7(教材 51)设F(x) 为随机变量 的分布函数,若存在非负的函数f(x) ,使对一切实数x,都有则称 为连续型随机变量,称f(x)为 的概率密度函数(概率 密度、密度函数)。概率密度函数的性质 :连续型随机变量与离散型随机变
7、量的区别:1) 连续型随机变量没有分布律;2) 连续型随机变量取个别值的概率为零,即结论: 设f(x)是非负函数,且满足关系式则f(x)必是某随机变量 的概率密度函数, 的分布函数为例1已知随机变量 的概率密度函数为求:1) 系数A;2) 3) 的分布函数 F(x).二、几种常见的 连续型随机变量及其分 布1. 均匀分 布 定义2.8 (教材 54)若连续型随机变量 的密度函数为则称 在区间(a,b)上服从均匀分布。的分布函数为 例2 设k在(0,5)服从均匀分布。求方程有实根的概率。2. 正态分 布若连续型随机变量 的密度函数为其中 ,则称 服从参数为 的正态分布(或称为正态变量),记为 。
8、的分布函数 为 正态分布密度函数的性 质1. f(x)的函数曲线关 于x=对称,仅改变 ,不改变, 图形不 改变形状,仅平移位置 ,故又称为位置参数 。2. X=时, 为f(x)的最大值。当越小,图形 越尖,落在附近的概率越大。 3. f(x)的函数曲线在 x=处有拐点, 曲线以OX轴为 渐进线 。4. f(x)处处大于零, 且有各阶连续的导函数 。 当= 0,=1时,称服 从标准正态分布,其密 度函 数记为(x), 分布函数记为(x) 。标准正态分布的性质 :1. (-x)=(x) ;2. ( -x)=1-(x) 。若 ,设F(x)为的分布函数,则有定理2.4 若 正态分布的概率计算公式:设
9、例3. 设某产品的寿命(以小时计) 若要求P(1200.8,允许最大为多少? 3准则:(教材 p80 例6)设 ,则几乎落入区间(-3, +3)内。3. 指数分 布定义2.10 (教材p55)若连续型随机变量 的密度函数为则称服从参数为的指数分布。其分布函数为指数分布的无后效性(无记忆性):设服从参数为的指数分布,对任何s0, t0,有4. -分 布定义2.11 若连续型随机变量 的密度函数为则称服从参数为,的-分布,记为(,)。-函数的常用公 式 1. ()=( -1) (-1) ;2. (1)=1 ;3. (1/2)= . 特别,当 =1, (1,) 是参数为的指数分 布 。例4. 某产品
10、的寿命(以小时计) 具有以下的概率密度:现从一大批该产品中任取5只,问其中至少有2只寿命大于 1500小时的概率有多大?第五节 随机变量函数的分 布结论:设 是n维随机变量,是n元连续函数,则 是一维随机变量 ,称为 的函数。1. 离 散型随机变量函数的分 布设是离散型随机变量,其分布律为p又设y=g(x)是连续函数,则=g()也是离散型随机变量 ,其分布律为p说明:若有 则将其概率合并为 ,只写一个。2. 连 续型随机变量函数的分 布 例1(教材p65)设定理2.3 设连续型随机变量的密度函数为y=g(x)有反函数x=h(y),则= g()也是连续型随机变量,其 密度函数为 其中:=ming(a),g(b),=maxg(a),g(b).例2 设N(0,1),求 的分布 。 例3 (2003年数学三、四考研试题十一题)设随机变量X的概率密度为F(x)是X的分布函数,求Y= F(X)的分布函数 。