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1、 多项式插值的存在唯一性 拉格朗日插值,牛顿插值 埃米特插值与三次样条 数据拟合的线性模型 两种典型的正交多项式数值分析习题课 III若插值结点 x0, x1,xn 是(n+1)个互异点,则满足 插值条件P(xk)= yk (k = 0,1,n)的n次插值多项式P(x)=a0 + a1x + anxn 存在而且惟一。多项式插值的存在唯一性定理Laglarge插值公式插值基( k = 0, 1, 2, , n )2/18插值误差余项其中,线性插值误差:二次插值误差:思考:构造线性插值函数计算115的平方根近似值，估 计近似值的误差并指出有效数位数。 3/18已知 x0, x1, , xn 处的值
2、 f(x0), f(x1), , f(xn).( j = 0,1,n-1 ) ( j = 0,1,n-2 ) 均差的定义牛顿插值公式( k=1,2,n )思考:证明一阶差商的对称性：fx0，x1 = fx1，x0， 进一步证明二阶差商的对称性。 4/18牛顿插值余项( j = 0, 1 )三次Hermite插值5/18给定a , b 的分划: a = x0 x1 xn = b. 已知f(xj) = yj (j = 0,1,n), 如果满足: (1) S(x)在 xj，xj+ 1上为三次多项式;(2) S”(x)在区间a，b上连续;(3) S(xj) = yj ( j = 0,1,n). 则称S
3、(x)为三次样条插值函数.三次样条的定义6/18( j=1,2,n-1 )自然边界条件三次样条一阶导数值: S(xj)=mj (j = 0, 1, n) 三次样条二阶导数值: S”(xj)=Mj (j = 0, 1, n) j = 1, n1 自然边界条件: M0 = 0 , Mn = 07/18拟合函数: (x)=a0 0(x) + a1 1(x) + +an n(x)数据拟合的线性模型离散数据x x1 x2 xmf(x) y1 y2 ym超定方程组超定方程组最小二乘解:8/18对连续函数 f(x) 的正交多项式平方逼近其中Ex1.设x0，x1，xn 是互异的插值结点，l0(x) 为对应于x
4、0的拉格朗日插值基函数，试证明9/18Ex2.设x0, x1, x2, , xn为互异的结点,求证 Lagrange 插值基函数满足下列恒等式(1)(2)( k = 1,n )证: (1)令 在插值结点处 Pn(xj) = 0 ( j = 0,1,2,n )n 次多项式 Pn(x)有 n+1 个相异零点Pn(x) = 0 10/18所以将 f(x) = xk (k n) 代入, 得(k =0,1,2,n)思考题: f(x)是(n+1)次多项式且最高次项系数为1 ，取互异的插值结点x0，x1，xn，构造插值 多项式Pn(x)，证明：f(x) = Pn(x) + (x x0) (x x1)(x x
5、n)(2) 取 f(x) = xk f(n+1)(x)=0 Rn(x) =011/18Ex4. 设 x0 x1 x2，从函数表 x x0 x1 x2f(x) y0 y1 y2出发, 利用 f(x) 的二次拉格朗日插值多项式 L2(x) 推导出求f(x)的极值点 x* 的近似值计算公式. Ex3. 设 P(x) 是不超过 n 次的多项式,而n+1(x) =(x x0)(x x1)(x xn)证明存在常数Ak( k =0，1，n)使得 12/18Ex5.设有数列: x1, x2 , , xn , (1).证明平方和数列 为3阶等差数列 证明: (1) Sn = n2 , 2Sn = n2(n-1)
6、2 =2n-13Sn = (2n-1)-(2n-3)=2故平方和数列为 3 阶等差数列.(2).证明则(2)令 g(n)=n(n+1)(2n+1)/613/18同理( k = 1,2,n )显然14/18证明: F x0, x1, xn = Ex6. 记 n+1(x) =(x x0)(x x1)(x xn)( j = 1,2, , n )对比Lagrange插值和Newton插值中 xn 的系数, 得F x0, x1, xn = 15/18Ex7. 2 次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件 ：f(x0)=y0，f (x1)=m1，f( x2)=y2，插值结点应满足什 么条件能使插值问题有唯
7、一解。 思考: 构造带导数条件的二次插值多项式公式f(0)=y0，f(1)=y1，f(0)=m0；16/18解: 设 H(x) = a0 + a1x + a2x2 , H(x) = a1 + 2a2xEx8.如果 xa, b , t-1, 1,(1)证明联系两个区间的映射为(2) 对于 t-1, 1上的二次正交多项式将其转换为xa, b 上的二次正交多项式17/18Ex9. 一个量 x 被测量了 n次,其结果是a1, a2, an.用 最小二乘法解超定方程组x = aj ( j =1,2,n) x 的值为多少？Ex10.给定五个观测值 yj ( j=k2，k1，k，k+1，k+2 )构造五点二次拟合函数（抛物线方程）P(t) = a0 + a1t + a2t218/18
