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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学一元微积分学 大大 学学 数数 学学（一一）第十七讲第十七讲 高阶导数高阶导数主讲:岑利群第三节 高阶导数一. 高阶导数的概念二 隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数例一. 高阶导数的概念推而广之:按照一阶导数的极限形式, 有和一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续, 则称函
2、数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为解例1注意, 当 k = n 时综上所述：解例2多项式的高阶导数.解例3对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .求 y = ex 的各阶导数.解y = ex 的任何阶导数仍为 ex例4求 y = ax 的各阶导数.解运用数学归纳法可得例5求 y = lnx 的各阶导数.解设 例6类似地, 有则故由数学归纳法得解 注意这里的方法例7即类似地, 有解看出结论没有？例8运用数学归纳法可以证得类似地 , 可求得解例9解二阶导数经常遇到, 一定要掌握.例10解由复合函数及反函数的求导法则, 得例11（可以看成参数方程求导）原则是:按照高阶导数的定义, 运用隐函数及参 数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求 导. 二、 隐函数及参数方程对方程两边关于 x 求导:解想想如何求二阶导数？例16对方程两边关于 x 求导, 得:对( ) 方程两边关于 x 求导:解从而例17()一般思路就是现对方程两边关于求导，得（ ）式，求得，然后直接对（ ）式再用隐函数求导法，再对求导，得到。方程两边对 x 求导解例18（ ）再对（ ）式两边对求导，得解例19注意仍是一个参数方程也是参数方程解例20解例21例22解
