《考研数学拓展班第1讲：函数-极限2014.3.12》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学拓展班第1讲：函数-极限2014.3.12（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一讲 函数、极限1 函 数1函数的定义因变量自变量数集D 叫作这个函数的定义域, 函数值全体组成的数集称为函数的值域 ,记作定的数值和它对应，则称y是x的函数, 设x 和y是两个变量,D 是一个给定的数集，如 果对于每个数 ,变量 y 按照一定法则总有确 记作 2函数的一些几何特性(1) 有界函数: 如果存在 M 0 使得则称函数 f(x) 在D上有界 , 否则称函数 f(x) 在D上无界 M-MyxOy = f (x)X注：1 有界性和函数定义区间有关2 函数可单边有界，即可以有上界或下界(2) 单调函数: 若对任意的 只要 ,有(或 ) 则称 f (x) 在 D 上单调增加 (单调减少)
2、若对任意的 只要 ,有(或 ) 则称 f (x) 在 D 上严格单调增加 (严格单调减少)注： 函数y=c既是单调增加函数，也是单调减少函数。但它不是严格单调函数。(3) 函数的奇偶性:若对任一 总有设函数 f (x) 在区间 上有定义,则称 f (x) 在 上是偶函数 (奇函数)注： 定义区间一定是对称区间。(4) 周期函数:设函数 f (x) 定义域为D ,如果存在 则称 f (x) 为以T为周期的周期函数 , T 称为 f (x) 的 任意的 总有 ,并且常数T 0 , 使对周期 ( 这里是指最小正周期)注：1 周期函数的定义域既无上界也无下界思考 ：是周期函数吗？答：不是.2 并非任何
3、一个周期函数都有最小正周期.答：常量函数每一个正数都是其周期.例1 下列函数是不是周期函数周期函数和或积是否为周期函数，取决于两周期函数 的周期是否有公倍数（即两周期之比是否为有理数）解（1）的周期的周期是 周期函数的周期 ，的周期（2）所以 g (x) 不是周期函数例2 设f (x) 与 g(x) 为奇函数或偶函数，试讨论复合函数 f (g(x) 的奇偶性 解 （1）如果 g(x) 为偶函数，即 （2）如果 g(x) 为奇函数，即 f (g(x) 恒为偶函数1）若f (x) 为偶函数 f (g(x) 为偶函数 f (g(x) 为奇函数2）若f (x) 为奇函数3反函数、复合函数（1）反函数设
4、y=f (x) 的定义域为D，值域为W. 若对W中任意y，通过 y=f(x) 确定 D 中唯一的x 值与其对应 ,得到一个 新的函数，我们把这个新的函数称为y=f(x)的反函数， 记作 习惯上常将 y=f(x) 的反函数，记为注 1 y = f(x) 与 的图象关于y = x 对称 2 若 y=f (x) 在 D上严格单调 ,则在 f (D) 上 y=f(x) 存在严格单调 (具有相同单调性)的反函数。（2）复合函数设函数 y=f (u) , uU ; u=g(x) , x X ,若 g(X)U , 则则称函数 是由函数 y = f (u) 和 u=g(x) 复合而成的复合函数 ,变量 u 称
5、为中间变量 4分段函数，初等函数，积分上限函数（1）分段函数在定义域的不同区域上用不同表达式表出的函数称为分段函数。 （2）初等函数1) 基本初等函数: 常数、幂函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数2）初等函数：基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算能用一个解析式子表示的函数 .（3）变上限积分函数说明： 用方程、极限、导数、无穷级数也可表示函数 （4）原函数若F(x)为连续函数f(x)的原函数，可以用变上限函数表示例3求函数 的反函数 解当 x 0 时，反函数当 x 0 , 满满足 的只有有限项项 (B) 对于任给的 0 , 总总有相应应的项项 ,(C) 存在某个正数 ,
6、除有限项外 , 都有(D) 存在某个正数 , 有无限多项满足解选 ( D )2极限的性质(1) 极限的唯一性 若 , 则极限唯一。(2) 极限的有界性若 , 则存在 使 f(x) 在 上有界 ( 局部有界性)函数极限:数列极限: 若 , 则 是有界数列 ( 整体有界性)(3) 极限的局部保号性若 当 时, 有（或 f(x) 0 , 当 时时, 有 f (x) g(x)(5) 极限的几个等价关系(证明题、计算极限）1)（常被用来讨论分段函数在分段点处的极限）2)3)(6) 极限的四则运算法则如果 ， 则有1）2）3）例5已知求 a , b .解原式 解得 此时例6求解由例7 若 计算 解所以例8
7、证明不存在 .证 取两个趋于 0 的数列及有所以不存在 .二者不相等,(7) 极限存在的判定准则(a) 单调有界准则：(b) 夹逼定理：单调有界数列必有极限.如果数列满足注： 函数极限有类似的夹逼定理例9设 , 且求分析易知xn的单调性如何？ 0？关键：证1有界性易知2单调性得 即 例10 求解 设 ，则由 及夹逼定理得原极限解即而所以例11 求极限(8) 重要极限1)2)例12 已知 , 求常数 a 解例13 若 ，问a为何值时， 存在且极限值为多少？解为使极限 存在即 此时3 无穷小与无穷大1无穷小与无穷大 (1) 无穷小(量):若 , 则称在此极限过程中,f (x) 是一无穷小(量) (
8、2) 无穷大(量): 若 , 则称在此极限过程 lim 中, f(x) 是一无穷大(量) 1无穷小量和无穷大量一定与自变量的某个变化过程相联系的 ；注:2 0是无穷小量；4 若 则 ( 无穷大的倒数是无穷小 )3 无穷大是无界量，但无界函数未必是无穷大；1) 有限个无穷小的和是无穷小 2) 常数与无穷小的乘积是无穷小3) 有限个无穷小的乘积是无穷小2无穷小的运算性质3无穷大的运算性质(a) 若 则(b) 若 (可为) , 则 例14 设数列 和 满足 则 下列断言正确的是(A) 若 发散 , 则 必发散 (B) 若 无界 , 则 必有界 (C) 若 有界 , 则 必为无穷小 (D) 若 为无穷
9、小 , 则 必为无穷小 解 (A) 反例 ，而(B) 反例(C) 反例(D) 正确令 ，则所以选 (D)设1) 若则称(x) 是(x) 高阶阶无穷穷小 ,记为 2) 若则称 (x) , (x)在该趋该趋 限过过程中是同阶无穷小 , 记为3) 若则称 (x) , (x)在该趋该趋 限过过程中是等价无穷小 , 记为4无穷小的阶4) 若则称 (x)为 k 阶无穷小 若 且 存在 ，则5利用等价无穷小代换求极限注： 不能滥用等价无穷小代换. 在用等价无穷小代换时，要用与分子或分母整体等价的无穷小代换.对于代数和中各无穷小, 一般不能分别代换.即遇无穷小 “+”, “”时, 一般不能代换；ab 遇无穷小
10、乘积时，可用各无穷小的等价无穷小进行代换.6常用等价无穷小7洛比塔法则设 f(x) , g(x) 在上可导 , 且 则说明:(1) 将 xa 换换成 结论继续成立 (2) 若 不存在 , 对原极限无明确结论 . (3) 其余的五种不定型:可化为 或 的不定型来处理 例15计算极限解原式例16 计算极限解原式例17 设 f(x) , g(x) 在 x = 0 某邻域内连续且 x 0 时时 ,f (x) 是 (x) 的高阶无穷小 , 则 x 0 时, 是 的 ( ) 无穷小 (A) 低阶 (B) 高阶 (C) 同阶非等价 (D) 等价解所以选 (B)例18当 x 0 时, 下列无穷小中: 哪个阶最高 ? 哪个阶最小 ? 解（关于 x 是1 阶的）（关于 x 是 2 阶的）（关于 x 是 3 阶的）（关于 x 是 2 阶的）同理有关于 x 是 低阶的所以 阶数最高，阶数最低例19计算下列极限解 (1) 原式 (2) 原式 所以 例20例21解例22例1已知 ，求 的定义域解 由 ，则由 ，得 x 满足解得定义域：例4 设 ，求 f (g (x) , g( f (x) 解所以例9设 证明:数列 有极限 , 并求解 从定义式可知 ，且设 ，则对 k = n+1由由归纳法可知数列 单调增有上界，所以收敛设 , 在递推式两边取极限得解得所以
