[理学]第1章随机事件及概率1-2节

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1、 指导教师: 韩艳敏联系电话: 86689916email:密码：123456Probability theoryand Mathematical statistics与数理统计 (王明慈,第二版 )概率论Date1专用教材：概率论与数理统计 王明慈等主编 (第二版) 高等教育出版社参考书目:概率统计简明教程同济大学主编 概率论与数理统计盛骤等主编 （第三版）高等教育出版社Date2课程安排: 概率论第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其分布 第三章 随机变量的数字特征 第四章 正态分布考核方式： 平时 成绩( 30)， 期末考试(70% ):闭卷 Date317世纪中叶帕斯卡，费马

2、有名的赌徒分赌注问题帕斯卡:若再掷一次甲获全部赌注甲，乙平分赌注两种情况的可能性相同，所以两种情况平均一下，对甲：）（/2费马: 赌博要最终分出胜负，最多还需要？局？甲胜乙胜四种情况： 甲甲， 甲乙， 乙甲， 乙乙对甲：2概率论（源于赌博）Date4甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝 上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。 假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才 算公平合理？有名的赌徒分赌注问题：Date5随机事件及其概率一、样本空间与随机事件二、随机事件的概率三、古典概型四、条件概率 概率乘法五、随机事件的独立性六、伯努利概型基本内

3、容：第一章Date6样本空间 随机事件一、随机现象与随机事件二、样本空间三、事件的关系及运算基本内容：第一节Date7确定现象(必然现象)随机现象(偶然现象)1. 自由落体运动；3. 函数在可导点处必连续；2. 在一标准大气压下，水的沸点100；1. 投掷硬币, 正面或反面朝上；2. 一只灯泡的寿命；3. 抽取福利彩票； 一、随机试验与随机事件Date8如果试验具有下述3特点：试验可以在相同条件下重复进行多次；每次试验之前无法预知会出现哪一个结果；试验的所有可能结果是明确可知的, 则称这种试验为随机试验(试验), 用E1,E2,表示.且不止一个;注：随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语. 它

4、包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物 行的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.1. 随机试验Date9例1：一个精致的礼盒中有10个相同的球,色的, 5个是黑色的, 搅匀后从中任意摸取一球.例2. 某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数.5个是白Date102.2.样本空间样本空间样本点： 随机试验的每一个可能结果 (不能再分解)，记作：样本空间： 所有样本点的集合， 记作：随机事件: 随机试验可能发生的结果,记作:A,B,.基本事件 仅包含单个样本点的子集Date11不可能事件：随机试验中一定不发生的事件必然事件 ： 随机试验中一定发生的事件例如：例1中 A“摸取一白球”，B“摸取

5、一黑球”都是随机事件 .C“摸取非白且非黑球” 为不可能事件 例2中D“在单位时间内电话交换台收到的呼唤 次数不超过10次”.必然事件就等于样本空间不可能事件是不包含任何样本点的空集Date12(2)掷一颗质量均匀的骰子，观察出现的点数；例3：(1) 抛掷一枚硬币， 观察正面、反面出现情况；Date13(3)记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.(4)从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.Date14注：1试验不同, 对应的样本空间也不同.2同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.如：对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次 ”.若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,

6、则样本空间为若观察出现正面的次数, 则样本空间为Date15所以在具体问题的研究中 , 描述随机现象的第一步就是建立样本空间.Date163. 随机事件与集合对应 随机事件：样本空间的一个子集；基本事件：仅包含单个样本点的集合；必然事件：所有样本点组成的集合，即样本空间；不可能事件：不包含任何样本点的空集。注：随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件. 随机试验样本空间子集随机事件Date17三、事件的运算及关系1. 事件的运算（3种）(1)事件的并“事件A和B至少有一个发生” 也是一个事件.例如 一个盒子中有十个完全相同的球，分别标以1

7、, 2, , 10, 从中任取一球.B = “球的标号3”则“球的标号为1, 2, 3, 4, 6, 8, 10”A = “球的标号为偶数”Date181. 事件的关系（4种） (1)事件的包含 “若A发生，必然导致B发生”B = 球的标号是偶数A = 球的标号为4事件A的发生，必然导致事件B 的发生，故(2)事件的相等（A=B）A = 球的标号为偶数如上例中如B = 球的标号为2、4、6、8、10 故 A=B.B AB (A) 三、事件的运算及关系Date19互斥(3)事件的互不相容“A、B不能同时发生”BA如 A=“球的标号为偶数”B=“球的标号为5”显然事件A和B不可能同时发生，即故A和

8、B互不相容（或互斥）.再如 投掷一颗骰子，观察出现的点数.“骰子出现2点”“骰子出现5点”Date20注：Date21球的标号为奇数如 A=球的标号为偶数(4)事件的对立（或互逆）若两个互不相容事件A与B中必有一个事件发生 ,A=AA与B对立记作结论:则称A与B是对立的，注：Date222. 事件的运算（3种）(1)事件的并“事件A和B至少有一个发生” 也是一个事件.例如 一个盒子中有十个完全相同的球，分别标以1, 2, , 10, 从中任取一球.B = “球的标号3”则“球的标号为1, 2, 3, 4, 6, 8, 10”A = “球的标号为偶数”Date23推广:( 有限个或可列无穷多个事

9、件的情形)Date24(2)事件的交“事件A,B同时发生” 也是一个事件.上例中“球的标号为2”B = “球的标号3”A = “球的标号为偶数”(3)事件的差（A-B）A发生而B不发生Date25事件的关系（4种）关系符号集合论Venn图概率论B AB (A) BAA包含A发生则 B发生A是B的 子集相等A=B互不相容（互斥）事件A,B不能同时发生A和B不相交对立（互逆）A的补集A发生则 B发生，否 则亦然Date26关系符号集合论Venn图概率论事件的运算（3种）B AB AA B并交差A和B的并集A和B的 交集A和B的 差集事件A,B至少 有一个发生事件A,B 同时发生事件A发生而B不发生

10、Date27(1)交换律(2)结合律(3)分配律3.事件运算定律（4种）Date28(4)德摩根(De morgan)定律意义： “A，B至少有一个发生”的对立事件是“A，B都不发生”.意义： “A，B都发生”的对立事件是“A，B至少有一个不发生 ”. 推广Date29(3) 恰好有一个发生例4： 设有3个事件A, B, C ，试用事件的运算关系(1) 只有A发生(2) 至少有一个发生(4)三个都不发生(5) 至少有一个不发生最多有一件事发生表示以下事件:=Date30如图所示的电路中， 电路开关a, b, c闭合， 试用A,B,C表示 “指示灯亮”和“指示灯不亮”.abc解： 当“开关a闭合

11、”，且“开关 b, c至少有一个闭合”时，“指示灯亮”，即D发生.故当“开关a未闭合”，与“开关b, c都未闭合”至少 有一个事件发生时， “指示灯不亮”，即D发生.故例5:设事件A,B,C分别表示 且事件D表示“指示灯亮”，Date31第二节 随机事件的频率与 概率的定义及性质一、频率的定义与性质二、概率的定义三、概率的性质基本内容：Date32例如 将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7 遍,观察正面出现的次数及频率.试验 序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 422 252125241827251 249256 247251 2622580.4 0.60.21.00.2

12、0.4 0.80.44 0.500.420.480.360.540.502 0.4980.512 0.4940.5240.5160.500.502波动最小随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性Date33著名的统计学家蒲丰、德.摩根、费勒及试验者抛硬币次数n正面朝上次数nA频率 fn (A)蒲丰德.摩根费勒皮尔逊4 040409210 00024 0002 0482048497912 0120.506 90.500490.49790.500 5因此皮尔逊进行了抛掷硬币的试验, 得到下面的结果:如:Date34若事件A的频率二、概率的定义(统计)定义1:记P(A)=p.大量重复试验中,其中0 p1

13、,则称p为事件A的概率,当试验次数n充分大时，趋向于一常数p，当试验次数n很大时，有Date35设试验的样本空间为(公理化)定义2:对于任一随机事件都有确定的实值P(A)， 满足下列性质：(1) 非负性： (2) 规范性：(3) 有限可加性： 对于k个互不相容事件 有(3)可列可加性： 对于可列无穷多个互不相容事件有则称P(A)为随机事件A的概率.Date36包含于事件(1)不可能事件的概率等于零，即(2)对立事件(3)若事件(4)对于任一随机事件(5)对于任意两个随机事件三、概率的性质与有即则有与有Date37( )若注：性质的逆命题不一定成立的.若 则 （ ）若 或 则 或 （ ）则思考D

14、ate38解:(1)由由此得(2)由于例6.求已知与且互不相容 ,则所以由B A问在什么条件下P(AB)取得最小值，最小值为多少？Date39内容小结1. 理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件的关系与运算.2. 了解概率的统计定义，理解概率的公理化概念，掌握概率的性质，掌握概率的加法公式.Date40作业习题一(P26)：1，3，4，5， 7Date41备用题1. 对某地所有有3个子女的家庭,调查其子女的性别问题, 写出该试验的样本空间.解：故样本空间为Date422.在药学系学生中任选一名学生，设事件A=“选出的学生是男生”； B=“选出的学生是二年级学生”； C=“选出的学生是

15、运动员”.(2)在什么条件下，ABC=C成立？(1) 叙述事件ABC的含义.(3)在什么时候，关系成立.解:(1) ABC的含义是“选出的学生是二年级的学生, 但他不是运动员”。Date43(2)所以ABC=C的充要条件是即 药学系学生中的运动员都是二年级的男生 .(3)当运动员都是二年级的学生时，C是B的子事件Date44A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销” B. “甲乙两种产品均畅销” C. “甲种产品滞销” D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”(1) 以A表示事件“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”,则其对立事件为（ ）(2) 若A, B为两随机事件, 且 则下列正确的是（ ） A.P(AB)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B)=1-P(A) D. P(B-A)=P(B)-P(A)3. 选择题Date45A. A与B互斥 B. AB是不可能事件C. AB未必是不可能事件 D. P(A)=0 或 P(B)=0答案: (1)D，(2)A，(3)C(3) 设A, B两事件满足P(AB)=0，则（ ）Date464. 设A, B不互不相容, P(A)=p, P(B)=q,