图的着色问题与排队论

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1、Axon着色问题与排队论廖波问题来源 图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种 颜色为地图着色，使得地图上的每一个区域着一种颜 色，且相邻区域颜色不同。 问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把相邻 两个区域用一条边相连接，就可以把一个区域图抽象 为一个平面图。 例如，图12-1（a）所示的区域图可抽象为12-1（b）所 表示的平面图。19世纪50年代，英国学者提出了任何 地图都可以4中颜色来着色的4色猜想问题。过了100 多年，这个问题才由美国学者在计算机上予以证明， 这就是著名的四色定理。例如，在图12-1中，区域用 城市名表示，颜色用数字表示，则图中表示了不同区 域的不同着色

2、问题 。问题来源图的着色 4通常所说的着色问题是指下述两类问题： 41给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 42给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色 ，并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这 个问题称为图的顶着色问题。顶点着色基本概念4独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，若中任 意两个顶点在G中均不相邻，则称S为G的一个独立集 。 4最大独立集：如果G不包含适合|S|S|的独立集S， 则称S为G的最大独立集。 4极大覆盖：设K是G的一

3、个独立集，并且对于VK的 任一顶点v，K+v都不是G的独立集，则称K是G的一 个极大覆盖。 4极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。V的子集K是G的极小覆盖当且仅当：对于每个顶点v 或者v属于K，或者v的所有邻点属于K（但两者不同 时成立）。顶点着色基本概念4K可着色：G的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,k对于G各顶 点的一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色， 则称着色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着 色是把V分成k个（可能有空的）独立集的一个分类 (V1,V2,Vk)。当G有一个正常k顶点着色时，就成G是k顶点可 着色的。 4G的色数X（G）是指G为k可着色的k

4、的最小值，若X（G）=k ，则称G是k色的。 4事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X （G）就转为求满足下列条件的最少子集数k： （1）两两子集中的顶点不同； （2）子集中的两两顶点不相邻。 显然有： （i）若G为平凡图，则X（G）=1； （ii）若G为偶图，则X（G）=2（iii）对任意图G，有X（G）+1（这里表示为顶点 数最大值）顶点着色求顶色数的算法设 计我们由“每个同色顶点集合中的两两顶点不相邻”可以看出，同色 顶点集实际上是一个独立集，当我们用第1种颜色上色时，为 了尽可能扩大颜色1的顶点个数，逼近所用颜色数最少的目的 ，事实上就是找出图G的一个极大独立集并给它涂

5、上颜色1。 用第2种颜色上色时，同样选择另一个极大独立集涂色，.， 当所有顶点涂色完毕，所用的颜色数即为所选的极大独立集的 个数。 当然，上述颜色数未必就是X（G），而且其和能够含所有顶点 的极大独立集个数未必唯一。于是我们必须从一切若干极大独 立集的和含所有顶点的子集中，挑选所用极大独立集个数最小 者，其个数即为所用的颜色数X（G）。 由此可以得算法步骤：Step1：求G图的所有极大独立集；Step2：求出一切若干极大独立集的和含所有顶点的子集；Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小值，即为X（G）。求极小覆盖法布尔代数法求极小覆盖的方法-布尔代数法：对于每个顶点v，选择v或者选择v的所

6、有邻点。首 先把“选择顶点v”这个指令记为符号v，然后对给定的 指令x和y，指令“x或y”和“x与y”分别记为x+y（逻辑 和）和x.y（逻辑积）。 4例如，指令“选择a与b，或者选择b与c”证为ab+bc。 从形式上看，逻辑和与逻辑积类似与集合的和， 而且关于和成立的代数法则对于这两个运算也成 立。 4布尔恒等式 aa=a 4 a+a=a 4 a+ab=a 4如：求极小覆盖法布尔代数法4例1：求图12-2G的顶色数 解： 4Step1：求极大独立集先求图G的极小覆盖，化简得故G的极小覆盖为 取其补集，得到G的所有 极大独立集： 4Step2：求出一切若干极大独立集和所有顶点的子集显然我们可以

7、选用4种颜色给每个顶点涂色，或者选 用3种颜色分别给3个极大独立集涂色，例如为b,d,f中 的b、d、f涂颜色1，为a,f中的a涂颜色2，为a,c,g 中 的c和g涂颜色3，为a，e，g中的e涂颜色4。求极小覆盖法布尔代数法Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者，即 为X（G） 但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应该 是X（G）=3，该子集为：给b,d,f中的b,d,f涂 颜色1，为a,e,g中a,e,g涂颜色2为a,c,g中的c 涂颜色3。由此可见，求色数其需要求极大独立集以及 一切若干极大独立集的和含所有顶点的子集， 对于大图，因为图计算量过大而成为实际上难 以凑效的算法，所以

8、不是一个好算法，一般我 们采用贪心法等近似算法来求解 。穷举法Welch Powell着色 法 4I将图G中的结点按度数的递减顺序进行排列(这种 排列可能不是唯一的，因为有些结点的度数相同)。4II用第一种颜色对第一结点着色，并按排列顺序对 与前面着色结点不邻接的每一结点着上同样的颜色。4III用第二种颜色对尚未着色的结点重复II，用第三 种颜色继续这种做法，直到所有的结点全部着上色为 止。穷举法Welch Powell着色 法 4给定图G，用Welch Powell法对图G着色A4A2A3A6A532113穷举法Welch Powell着色 法 4第一步：将图G中的结点按度数的递减顺序排列

9、：4第二步：用第一种颜色对A5着第一种颜色，并 对与A5不邻接的结点A1也着第一种颜色。4第三步：对结点A3及与A3不邻接的结点A4、A8 着第二种颜色。4第四步：对结点A7及与A7不邻接的结点A2、A6 着第三种颜色。可见，图G是三色的。但图G不可能是二色的， 因为A1, A2, A3相互邻接，故必须着三种颜色。 所以x(G)=3。 回溯法 4由于用m种颜色为无向图G=(V,E)着色，其中，V的顶点个 数为n，可以用一个n元组C=(c1,c2,cn)来描述图的一种可 能着色，其中，ci1, 2, , m，(1in)表示赋予顶点i的 颜色。例如，5元组(1, 2, 2, 3, 1)表示对具有5

10、个顶点的无向图12.3 （a）的一种着色，顶点1着颜色1，顶点2着颜色2，顶点3 着颜色2，如此等等。 4如果在n元组C中，所有相邻顶点都不会着相同颜色，就称 此n元组为可行解，否则为无效解。 4回溯法求解图着色问题：首先把所有顶点的颜色初始化为0 ，然后依次为每个顶点着色。如果其中i个顶点已经着色， 并且相邻两个顶点的颜色都不一样，就称当前的着色是有 效的局部着色；否则，就称为无效的着色。如果由根节点 到当前节点路径上的着色，对应于一个有效着色，并且路 径的长度小于n，那么相应的着色是有效的局部着色。这时 ，就从当前节点出发，继续探索它的儿子节点，并把回溯法 儿子结点标记为当前结点。在另一方

11、面，如果在相 应路径上搜索不到有效的着色，就把当前结点标记为 d_结点，并把控制转移去搜索对应于另一种颜色的兄 弟结点。如果对所有m个兄弟结点，都搜索不到一种 有效的着色，就回溯到它的父亲结点，并把父亲结点 标记为d_结点，转移去搜索父亲结点的兄弟结点。这 种搜索过程一直进行，直到根结点变为d_结点，或者 搜索路径长度等于n，并找到了一个有效的着色为止 。 例：利用回溯法给下图（a）着色。step one:把5元组初始化为（0,0,0,0,0），从根结点 开始向下搜索，以颜色1为顶点A着色，生成根结点2 时，产生(1,0,0,0,0)，是个有效着色。回溯法 回溯法 step two:以颜色1为

12、顶点B着色生成结点3时，产生 (1,1,0,0,0)，是个无效着色，结点3为d_结点。 Step three：以颜色2为顶点B着色生成结点4，产生 (1,2,0,0,0)，是个有效着色。 Step four：分别以颜色1和2为顶点C着色生成结点5和6 ，产生(1,2,1,0,0)和(1,2,2,0,0)，都是无效着色，因此 结点5和6都是d_结点。 Step five：以颜色3为顶点C着色，产生(1,2,3,0,0)，是个 有效着色。重复上述步骤，最后得到有效着色 (1,2,3,3,1)。回溯法 4设数组colorn表示顶点的着色情况，回溯法求解m着色问题的 算法如下： 4图着色回溯法： 41

13、将数组colorn初始化为0； 42k=1; 43while (k=1) 43.1 依次考察每一种颜色，若顶点k的着色与其他顶点的着色 不发生冲突，则转步骤3.2；否则，搜索下一个颜色； 3.2 若顶点已全部着色，则输出数组colorn，返回； 3.3 否则，3.3.1 若顶点k是一个合法着色，则k=k+1，转步骤3处理下一 个顶点；3.3.2 否则，重置顶点k的着色情况，k=k-1，转步骤3。回溯法 4void GraphColor(int n, int c , int m) 4 /所有数组下标从1开始 4 4 for (i=1; i=1) 4 4 colork=colork+1; 4 wh

14、ile (colork=m) 4 if Ok(k) break; 4 else colork=colork+1; /搜索下一个颜色 4 if (colork=m i=n; i+) 4 coutcolori; 4 return; 4 4else if (colork=m /处理下一个顶点 4 else 4 colork=0; 4 k=k-1; /回溯 4 4 4 4 回溯法 4bool Ok(int k) /判断顶点k的着色是否发生冲突4 4 for (i=1; ik; i+) 4 if (cki= =1 4 return true;4 贪心法 例如，图12-4(a)所示的图可以只用两种颜色着色

15、，将顶 点1、3和4着成一种颜色，将顶点2和顶点5着成另外 一种颜色。为简单起见，下面假定k个颜色的集合为 颜色1, 颜色2, , 颜色k。（a） （b）贪心法4贪心策略：选择一种颜色，以任意顶点作为开始顶点，依次考察图中的未被着色 的每个顶点，如果一个顶点可以用颜色1着色，换言之，该顶点的邻接点都还未 被着色，则用颜色1为该顶点着色，当没有顶点能以这种颜色着色时，选择颜色2 和一个未被着色的顶点作为开始顶点，用第二种颜色为尽可能多的顶点着色，如 果还有未着色的顶点，则选取颜色3并为尽可能多的顶点着色，依此类推，如图 12.4（b）所示。 4设数组colorn表示顶点的着色情况，贪心法求解图着色问题的算法如下： 4图着