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1、第五章 离散傅里叶变换的应用 用DFT逼近连续时间信号的频谱5.1*用FFT计算线卷积和相关运算5.2倒频谱分析5.3系统频谱响应函数分析及确定5.4内容提要v 离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）的 重要性不仅在于理论上的严格性，而且还在于工 程上的实用性，凡是可以利用傅里叶变换进行分 析、综合和处理的技术问题，都能利用FFT有效地 解决。 v利用DFT逼近傅里叶变换时存在的问题和解决的方 法.v倒频谱的基本概念及应用等内容。 第一节 用DFT逼近连续时间信号的频谱 v工程上所遇到的信号，包括传感器的输出信号， 大多是连续非周期信号，这种信号无论是在时域 或频域都是连续的，其波形和
2、频谱如图5-1所示。0ax (t)t图5-1 连续非周期信号时域 波形和频谱（5-1）（5-2） v由式（5-1）、式（5-2）和图5-1，可以看 出 v1）两式中的积分区间均为（，）； v2） 和 都是连续函数。v显然，上述两点无法满足计算机进行数字 信号处理的要求，若要应用FFT进行分析和 处理，必须在时、频域进行有限化和离散 化处理。 v有限化和离散化处理是在时、频域对被处 理的连续信号近似或逼近，是一种近似处 理。时域的有限化和离散化一频域的有限化和离散化二误差产生原因及解决办法三周期信号的数字谱分析四谱分析时DFT参数的选择五频谱细化技术六一、时域的有限化和离散化时域的有限化，就是对
3、信号的延续时间沿时间轴 进行截断，反映在图5-2中，是把时间区间由（ ，）限定为（0， ）。一、时域的有限化和离散化v 时域的离散化，就是对连续信号进行抽样，采样后 ，有 则 ， ，其结果如图5-2所示。 一、时域的有限化和离散化v那么，原连续信号的频谱离散化后，可近似表示为v经有限化，即n由（，）近似为（0， ） ， 上式可表示为v要进行数字谱分析，上式中的还须进行有限化和离 散化。 （5-3） （5-4） 二、频域的有限化和离散化 v时域上的变化必然引起频域上的变化，由于在时 域上对 进行了抽样，则在频域上将引起频谱 的周期化（是原连续信号频谱的周期延拓，延拓 周期为 ），如图5-3所示。
4、图5-3 时域离散化后的频谱二、频域的有限化和离散化（5-5） 与时域一样，对频域也要进行有限化和离散化处理 。频域的有限化，是在频域轴上取一个周期的频率 区间 。频域的离散化，就是对一个周期内的频 谱进行抽样， 有（ ）,则 二、频域的有限化和离散化v需要指出，上式中， 代表信号截断的时间长度 ，不是信号周期概念，因为原信号是非周期信号 ； 也不是基频的概念，而是频谱离散化后相邻 离散点的频率间隔。因此为了与周期信号离散谱 的符号 相区别，用 来表示非周期信号 频谱离散化后的频谱。二、频域的有限化和离散化v由上式可知， 与 ，仅相差 一个系数 。同 理可得 （5-6） （5-7） 图5-4
5、连续信号频谱的有限化和离散化*三、误差产生原因及解决办法 v对连续非周期信号的数字谱分析实质上是 用有限长抽样序列的DFT（离散谱）来近似 无限长连续信号的频谱（连续谱），其结 果必然会产生误差，主要的误差包括：栅 栏效应、混叠效应和频谱泄漏三种。三、误差产生原因及解决办法v（一）栅栏效应 非周期信号具有连续谱，但用DFT来计算非周期信 号的频谱时，只能观察到有限个（N个）离散频谱 值，而频谱间隔中的值就观察不到了，就好像通 过栅栏观察景物一样，一部分景物被阻挡了，这 种现象称为栅栏效应。将能够感受到的频谱最小 间隔值称为频谱分辨率。频谱分辨率反映了谱分 析算法能将信号中两个靠得很近的谱保持分
6、开的 能力。若时域抽样周期为T，抽样点数为N，则有 三、误差产生原因及解决办法vNT实际上就是信号在时域上的截断长度 ，分辨 率 与 成反比。栅栏效应是由于频域的离散化 引起的，使得在频谱抽样间隔之间的频谱无法反 映出来，因此是不可避免的。为了改善栅栏效应 ，提高频率分辨率，应当增加信号的有效数据长 度 或N，也可以采用频谱细化技术，使谱线变密 ，从而看到原来看不到的“频谱景象”。 （5-8） 三、误差产生原因及解决办法v（二）混叠效应 v时域信号的离散化是通过抽样实现的，当采样频 率 不够高时，采样信号相对原信号就会产 生频谱的混叠，引起频谱失真。频谱混叠效应是 由于时域的离散化引起的，克服
7、的办法是提高采 样频率，设法满足采样定理，保证 ，其 中 是原信号的最高频率。如果时间记录长度为 ， 则在 时间内的采样次N必须满足（5-9） 三、误差产生原因及解决办法v（三）频谱泄漏 v频谱泄漏又称截断误差，是由于对信号进行截断 ，把无限长的信号限定为有限长，即令有限区间 外的函数值均为零值，相当于用一个矩形（窗） 信号乘相应的信号，如图5-5所示。图5-5 用矩形窗截断信号 第三节 倒频谱分析倒频谱的定义一倒频谱的应用对语言信号的分析二一、倒频谱的定义v设时域连续信号x(t)的傅里叶变换为其功率谱为一、倒频谱的定义v定义（5-25）为连续信号x(t)的倒频谱，它实质是“信号对数 功率谱的
8、功率谱”。v实际工程中常用幅值倒频谱，其表达式为（5-26）一、倒频谱的定义v在实际数字信号处理时，对有限长序列的倒谱计 算步骤为 v(1)对时域信号 作DFT ；v(2)对频域信号 取对数： ；v(3)求倒谱： 。二、倒频谱的应用对语言信号的分析图5-11 元音“a”的对数谱和倒频谱分析v 元音“a”的对数谱和倒频谱表示在图5-11上。从图中可以 看到有两个特点：一是有大量的谐波分量，谐波间距等于 语音音调；二是有许多共振峰，即所谓的构形成分，它由 声道的形状决定，并确定了特定的元音声。 v 二、倒频谱的应用对语言信号的分析v为分析方便，用 代替 ，则可用 表示原来声道内发出的语音信号的功率
9、谱，用 表示共振嗓音成分的功率谱，两者合成的元音声 的功率谱为v若以对数形式表达，上式可改写成二、倒频谱的应用对语言信号的分析v因为傅里叶变换的线性特性，所以在倒频谱中仍 保持相加的关系。 v并简写成二、倒频谱的应用对语言信号的分析v从图5-11中还可以看出，有声道产生的构形成分 与嗓音产生的语音特征，在倒频谱中处于完全不 同的地方，可以明显地加以区别。第四节 系统频率响应函数分析及确定v本节主要介绍一下系统频率响应函数的基本特性 、基本测定方法，并以传感器的频率特性分析为 例，说明离散傅里叶变换（DFT）的应用。主要内容频率响应函数的基本特性一频率响应函数的测定二传感器的频率特性分析三一、频
10、率响应函数的基本特性v频率响应函数的物理意义：首先假定输入是频率 为 的正弦波，输出也是一个相同频率的波。同 一频率的输出振幅之比，等于系统的模 ；输 出和输入的相位差等于系统的相角 。频率响 应函数就是系统的幅频和相频特性。一、频率响应函数的基本特性v频率响应函数的基本特性:1） ，即幅频特性为正值函数。2） 与 互为傅里叶变换对。3）系统为单输入，并没有明显的噪声输 入。4）频率响应函数的相频特性与互谱的相位特性 完全相同。 v5）频率响应函数的幅频特性图上，幅比值可以用 线性坐标，其单位为输出信号的物理单位除以输 入信号的物理单位。三、传感器的频率特性分析v以压力传感器为例，一般而言，他
11、可以看作是一线 性时不变系统，如图5-12 所示。设传感器的单位冲 激响应为 ，输入为 ，则输出响应 ，根据卷积定义有图5-12 传感器模型三、传感器的频率特性分析v对动态压力传感器频率特性的测定，目前通用的 实验方法如图5-13所示。 压力信 号 源被 测 传感器抗混迭 滤波器采 样 A/DFFTD/A打印 输出数据图5-13 传感器动态标定系统框图三、传感器的频率特性分析v但对传感器而言，其频率响应总是有限的，因此 ，在激波管产生的阶跃信号输入情况下，传感器 的输出响应 可能如图5-15 b所示。在这种情况 下， 是非时限信号，且归一化稳态值为1，不 满足绝对可积的条件。三、传感器的频率特
12、性分析v为了利用DFT来求解，只能对输出响应 截取 有限长 一段进行分析。这样截取一段， 势必产生较严重的泄漏，使得传感器的频 率响应特性在高频部分发生明显的畸变。三、传感器的频率特性分析图5-15 传感器的阶跃输入及输出响应三、传感器的频率特性分析为了尽可能减小泄漏效应的影响，除了在进行截 取时选择适当的窗函数外还可以用下述方法进行 处理。 v首先:将传感器的输出响应 分解 和 。 如图5-16所示，即三、传感器的频率特性分析式中， 为直流分量（常值分量）， 为瞬态 分量，这样一来，传感器的频率响应为图5-16 信号的分解 三、传感器的频率特性分析v上述将输出响应 分解的方法是可行的。只是在
13、 实际分解过程中，要精确地确定 之值是比较 困难的，因此，可能造成分析结果的误差。为此 ，在传感器为阶跃输入的情况下，还可以利用傅 里叶变换的微分特性，即三、传感器的频率特性分析v式中 、 是 、 的一阶微分。而且 v所以 ，反变换得三、传感器的频率特性分析v显然，对输出响应 的微分去掉了其中的直流分 量，而对输入阶跃信号 的微分消除了信号不连 续处的吉布斯现象。上式表明，在阶跃输入的情 况下，传感器的冲激响应 等于传感器阶跃输 出响应 的一阶微分。为了用DFT来计算，只要 对输出 进行采样和量化，且将 用一阶差 分来表示，即三、传感器的频率特性分析式中，T为时域采样间隔，n为样本序列号。 v这样，只要对 进行DFT，就能求得传感器频 率特性 的采样值（离散谱）。 v综上所述，为了求得传感器的频率特性参数，可 以通过对传感器的阶跃输出响应 、 或 进行傅里叶变换来实现。具体步骤如下， 三、传感器的频率特性分析v1）选择恰当的窗函数，对输出响应截取一段，其 长度 根据频率分辨率的要求确定， v2）根据采样定理，估计一个采样周期T。 v3）对截取的信号进行采样和量化。 v4）利用FFT对由 、 或 所获得的时间序 列进行DFT运算。
