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1、5 可逆矩阵一、逆阵的定义我们知道在数学上有很多运算是成对出现的那么，我们前面讨论的矩阵的乘法是否存在除法呢？更一般地，在初等数学中解方程ax=b，当 a0时，x=a-1b。那么矩阵方程AX=b，是否也有X=A-1b呢？设n 元线性方程组线性方程组的矩阵表示法（2）则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题， 而后者即求中未知矩阵X的问题。这需要用到逆矩阵的问题。 代数方程的解问矩阵方程的解是否为?若可以，那么的含义是什么呢？则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.一、概念的引入在数的运算中，当数 时，有其中 为 的倒数， （或称 的逆）；在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中的1， 那么
2、，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵 ,使得二、逆矩阵的概念和性质定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵.,使得例 设定理 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.若设 和 是 的可逆矩阵，则有可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即注意：只有方阵才可能是可逆矩阵，且可逆矩阵 的逆矩阵一定是方阵。当B为A的逆矩阵时，B也为可逆矩阵，且A 也为B的逆矩阵，于是A与B互为逆矩阵。例 设思路：利用待定系数法解设 是 的逆矩阵,则又因为所以定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵称为矩阵 的伴随矩阵.注意：行列的位置定理2.1证明：由第一章行列式展开定
3、理及其推论知类似有u定理2. 2 矩阵阵 A 可逆充分必要条件是且当时时，证明： 必要性 设 A 可逆， 于是有 两边取行列式有， 因此充分性 设设由定理 2.1 知故有由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法， 还给出了求解逆矩阵的一种方法 .A可逆A是非奇异矩阵A是满秩矩阵例3思考思考:上(下)三角矩阵的逆矩阵仍是上(下)三角矩阵.例6设A为3阶方阵 , , 求解解推论 若方阵 A、B 有 AB = E，则 A、B 均可逆.证明因为故于是 A、B 均可逆 .推论证明三、可逆阵的性质设A，B为同阶可逆矩阵，是非零常数，则证明逆矩阵的求法一：伴随矩阵法例 2
4、.15 设判断 A 是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵 .解因为故 A 可逆， 且例2求A的逆矩阵例2解解例6见书中例16（P51-53）例 2.17 求解线性方程组解方法一 ( Cramer 法则 ) 由于于是有方法二 ( 逆阵法 ) 因为方程可写成矩阵形式 Ax = b，其中由于故 A 可逆，因此其中于是例5解给方程两端左乘矩阵给方程两端右乘矩阵得给方程两端左乘矩阵得给方程两端右乘矩阵利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量个数等于方程个数的一种方法 ( 第一章给出了行列式法 ) ，但对于 n 较大时，两种方法都不适用 .我们将在余下的章节讨论第三种方法 .解例1例5例4 设方阵A与B满足
5、AB=AB，证明A+I可逆, 且求出它的逆阵.解 由条件AB=AB可得，A+IBAB=I，(A+I)(A+I)B=I，于是 (A+I)(IB)=I。所以，A+I 可逆，且其逆阵(A+I)1 =IB。注：矩阵的左乘和右乘一定要注意！解例324 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明 (1) 若 |A|0 则 |A*|0 (2) |A*|A|n1 证明证明 (1)用反证法 假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得 AA A*(A*)1|A|E(A*)1 0 所以A* 0 这与|A*|0矛盾， 故当|A|0时 有|A*|0 (2)由于 则AA*|A|E 取行列式得到 矩阵及其运算课后习题 |A|A*|A|n 若|A|0 则|A*|A|n1 若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立 因此 |A*|A|n1例 2.19 设 A 为 3 阶矩阵，且求解 由于于是解：例6解例3 设于是解例12已知求解例13例14 若，判别可逆，及并求其逆。解可逆且可逆，且(1)(2)例4解例5四、小结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵 存在思考题答
