第一章4节 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

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1、1.5 条 件 概 率、 全概率公式和贝叶斯公式一 条 件 概 率二 乘 法 公式三 全概率公式和贝叶斯公式目 录 索 引第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录一 条 件 概 率条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。 它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。吸烟有害健康SABBA第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录条 件 概 率设A、B是某随机试验中的两个事件，且则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率，记为第一章 事件与概

2、率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录例 1 盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别 为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放 回地取两次则该试验的所有可能的结果为(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)其中(i,j)表示第一次取i号球，第二次取j号球第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录设A= 第一次取出球的标号为 2 B= 取出的两球标号之和为 4 则事件B所含的样本点为(1,3) (2,2

3、) (3,1) 因此事件B的概率为:若我们考虑在事件A发生的条件下，事件B发生 的概率并记此概率为:由于已知事件A已经发生，则该试验的所有 可能结果为第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)这时，事件B是在事件A已经发生的条件下的概率 ，因此这时所求的概率为注：由例1可以看出，事件在“条件A已发生这个 附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不 同的因此，有必要引入下面的定义：第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率， 简称为B在A之下的条件

4、概率。在例 1 中，我们已求得第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式设A、B是某随机试验中的两个事件，且则还可求得故有返回主目录条件概率的性质 ：第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录例 2已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女 孩，求该家庭至少有一个男孩的概率则所以解：设 A= 3个小孩至少有一个女孩 B= 3个小孩至少有一个男孩 第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录两个事件的乘法公式由条件概率的计算公式我们得这就是两个事件的乘法公式第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯

5、公式返回主目录多个事件的乘法公式则有这就是n个事件的乘法公式 第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录例 4 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取 出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加 进一个白球，直至取出黑球为止求取了n次都 未取出黑球的概率 解：则由乘法公式，我们有第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录例 5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破 ，第二次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落

6、下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10 。求 透镜落下三次而未打破的概率。解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下 打破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破” ，有：第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录全概率公式和贝叶斯公式定义 设 S 为试验 E 的样本空间，为 E 的一组事件。若满足(1)(2) 则称为样本空间 S 的一个划分。第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录全 概 率 公 式：设随机事件满足：第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录全概率公

7、式的证明由条件：得而且由A1A2An.BA1BA2.BAnS第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录全概率公式的证明（续）所以由概率的可列可加性，得代入公式（1），得第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录全概率公式的使用我们把事件B看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级 射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三 、

8、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的 概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选 一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标 的概率 解：由全概率公式，有第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录Bayes 公 式设随机事件满足则第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录Bayes公式的使用我们把事件B看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原

9、因引起的概率，则用Bayes公式可以求出第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录例 8 用某种方法普查肝癌，设：A= 用此方法判断被检查者患有肝癌 ，D= 被检查者确实患有肝癌 ，已知现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有 肝癌的概率第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录例 8（续）解：由已知，得所以，由Bayes公式，得第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录例 9袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的骰子 ，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的 球全是白球，求掷出3点的概率解：设

10、：B= 取出的球全是白球 则由Bayes公式，得第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录例9（续）第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录例 10 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家 元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额1 0.02 0.152 0.01 0.803 0.03 0.05SB1B2B3A第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的， 且无区别的标志。 （1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次 品的概率。（2）在

11、仓库中随机的取一只晶体管，若已知取 到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能 性最大。解 ： 设 A 表示“取到的是一只次品”，Bi ( i= 1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式例10（续）返回主目录元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额1 0.02 0.152 0.01 0.803 0.03 0.05第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式例10（续）返回主目录元件制造厂 1 0.02 0.152 0.01 0.803 0.03 0.05B1B2B3A第一章 事件与概率5 条 件 概 率

12、、全概率 公式和贝叶 斯公式例10（续）返回主目录第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式例10（续）返回主目录例 11 对以往的数据分析结果表明当机器调 整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发 生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机 器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知 某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整良 好的概率是多少？机器调整得良好 产品合格机器发生某一故障 第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录解 ：第一章 事件与概率5 条 件 概 率、全概率 公式和贝叶 斯公式返回主目录小结 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式