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1、习题课 级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法 求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数) 时 ,时为数项级数;时为幂级数;机动 目录 上页 下页 返回 结束 数项级数幂级数幂级数和付式级数一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法 用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.
2、 任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法: 若且则交错级数收敛 ,概念:且余项若收敛 , 称绝对收敛若发散 , 称条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 若级数均收敛 , 且证明级数收敛 .证: 则由题设收敛收敛收敛练习题: P322 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示:P323 题2. 判别下列级数的敛散性:提示: (1) 据比较判别法, 原级数发散 .因调和级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用比值判别法, 可知原级数发散.用比值法, 可判断级数因 n 充分大时原级数发散 . 用比值判别法可知:时收敛 ;时, 与
3、p 级数比较可知时收敛; 时发散.再由比较法可知原级数收敛 .时发散 .发散,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束 P323 题3. 设正项级数和也收敛 .提示: 因存在 N 0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛, 证明级数当n N 时机动 目录 上页 下页 返回 结束 P323 题4. 设级数收敛 , 且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .问级数提示: 对正项级数,由比较判别法可知级数收敛 ,收敛,级数发散 .例如, 取机动 目录 上页 下页 返回 结束 P323 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示: (1) P 1 时, 绝对收敛 ;
4、0 p 1 时, 条件收敛 ; p0 时, 发散 .(2) 因各项取绝对值后所得强级数原级数绝对收敛 .故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因单调递减, 且但所以原级数仅条件收敛 .由Leibniz判别法知级数收敛 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 因所以原级数绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .P323 题7. 求下列级数的敛散域:练习:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:当因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .故收敛域
5、为机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 因故收敛域为级数收敛;一般项不趋于0, 级数发散; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在 原级数 = 其收敛半径注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求幂级数法1 易求出级数的收敛域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 法2先求出
6、收敛区间则设和函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习:解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为而在x0P323 题8. 求下列幂级数的和函数：级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有x = 1 时, 级数也收敛 . 即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习:解: 原式=的和 .P323 题9(2). 求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、函数的幂级数和付式级数展开法 直接展开法 间接展开法练习:1. 将函数展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 函数的幂级数展开法2. 设, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,的和. ( 01考研 )解:于是并求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的付式级数展开法系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法练习: 上的表达式为将其展为傅氏级数 .P323 题11. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在解答提示机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 如何利用本题结果求级数根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有提示:
