第3章杆件的强度、刚度和稳定性

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1、 出版社 科技分社建筑力学与结构掌握轴向拉（压）杆的应力和强度计算 掌握梁的正应力和强度计算 掌握矩形截面梁的剪应力和强度计算 熟悉拉（压）杆的变形特点和虎克定律，能够计算其 变形量 通过查表能够计算出梁的挠度并对其刚度进行校核 能够运用欧拉公式计算压杆的临界力 了解提高压杆稳定性的措施第第3 3章 杆件的强度、刚度和稳定章 杆件的强度、刚度和稳定 性性1出版社 科技分社建筑力学与结构一、应力的概念 描述应力的概念：图3.3表示截面被分割成同 样大小（共25个）的正方形（单位正方形），内 力分布到各个正方形的情况。第一节 应力与强度 图3.3 应力概念及分布2出版社 科技分社建筑力学与结构日常

2、生活中，人们对应力的感觉并不陌生，而 且常常有意或无意地增加或减小应力。 例如，人的体重W大致是不变的，但人脚下鞋 底的应力，则可随着鞋与地面相接触的面积不同而 改变，如图3.4所示。图3.4 鞋底的应力变化3出版社 科技分社建筑力学与结构图3.5 椅凳上所提供的应力4出版社 科技分社建筑力学与结构图3.6 按图钉时所产生的应力分析5出版社 科技分社建筑力学与结构二、轴向拉（压）杆的应力及强度计算 1）轴向拉（压）杆的应力 取一根等直杆，如图3.7（a）所示。在杆的两 端施加一对轴向拉力P，现在来观察轴向受拉杆的 变形现象，并由此导出应力分布规律。6出版社 科技分社建筑力学与结构图3.7 轴向

3、受拉杆横截面上的应力7出版社 科技分社建筑力学与结构若设横截面的面积为A，则轴力为：由此得出轴向拉伸杆的横截面上正应力计算公 式，即：8出版社 科技分社建筑力学与结构讨论： 对应轴向压缩杆，式（3.1）同样适用，只 不过为压应力，取负值。对轴向拉（压）杆，其 横截面上只有正应力而无剪应力。 对于材料相同的等直杆，当轴力N不变时， 如果杆的截面细小，由式（3.1）可知，因A小，则 就大。这就是图3.1中较细之杆容易被拉断的原因 。9出版社 科技分社建筑力学与结构当杆作用有几个轴向外力时，可由截面法求 得最大轴力Nmax。对于变截面杆（即杆截面面积A 并非常量），Nmax所在截面其应力并不一定为最

4、大 ，因为还需考虑A是否为最小。 对于等直杆，其最大正应力发生在Nmax所在 的横截面上，此时式（3.1）变为：10出版社 科技分社建筑力学与结构2）强度条件 即便已求得最大正应力，尚不能判断杆是否会 因强度不足而发生破坏，只有把最大应力和材料强 度指标联系起来，才能对此做出结论。 等截面轴向拉（压）杆的强度条件为11出版社 科技分社建筑力学与结构式中材料在拉伸（压缩）时的容许 应力。它是由材料达到破坏时的极限应力0并除 以一个大于1的系数K而得，即:12出版社 科技分社建筑力学与结构13出版社 科技分社建筑力学与结构3）强度计算 针对不同的具体情况，由式（3.3）可解决3种 不同类型的强度计

5、算问题： （1）校核杆的强度 所谓校核强度，就是已 知杆的材料、尺寸（即已知和A），并由所 承受荷载求得最大轴力Nmax，在此情况下，检验轴 向拉（压）杆是否满足式（3.3）：14出版社 科技分社建筑力学与结构（2）选择杆的截面 在根据荷载求得杆的轴 力，并确定了所用材料，即已知Nmax和以后 ，再根据强度条件，选出杆所需的横截面面积A， 此时把式（3.3）改写为：15出版社 科技分社建筑力学与结构（3）确定杆的容许荷载 若已知杆的尺寸和 材料，即已知A和，则由强度条件来确定杆 所能承受的最大轴力，并由此求得容许荷载。此时 把式（3.3）改写为：16出版社 科技分社建筑力学与结构三、梁的正应力

6、及强度计算 在第2章中，大家已经知道梁的横截面上，在 一般情况下有弯矩M和剪力V，但仅知此内力还不 足以对梁进行设计和强度校核，亦即还需进一步研 究梁横截面上的应力情况。为了方便，我们先研究 梁横截面上只有弯矩的情况，即梁属于纯弯曲。这 样就可排除横截面上剪力的影响，而只考虑由弯矩 在横截面所引起的正应力。17出版社 科技分社建筑力学与结构1）分析梁的变形 研究梁横截面上正应力的分布规律，还是要先 从观察分析梁的变形入手。由于梁的各横截面上的 内力只有弯矩（其值皆等于M）而无剪力，故该梁 处于纯弯曲状态。由此可观察到如下一些现象：18出版社 科技分社建筑力学与结构图3.12 纯弯曲梁的变形分析

7、19出版社 科技分社建筑力学与结构2）纯弯曲的正应力公式 取变形后两横截面之间的这一段来进一步分析 横截面上的应力分布规律，如图3.13所示。图3.13 梁的微段变形与应力分布20出版社 科技分社建筑力学与结构图3.13（c）：这是梁横截面上正应力分布的 立体图形，它直观形象地描绘出应力的分布规律。 在与中性轴z的距离为y处，假设其应力为，则：21出版社 科技分社建筑力学与结构当y=0时，即在中性轴上，其正应力=0； 在距z轴最远的梁的上下边缘，即y=ymax，其压应 力或拉应力的绝对值皆为最大。 梁在纯弯曲段内，梁的横截面上的弯矩M为 一常数。 沿梁宽b的各点，其y值若相同，则值就不 变。2

8、2出版社 科技分社建筑力学与结构3）惯性矩 和杆的拉（压）应力一样，梁的正应力与截面 形状和尺寸大小（即截面几何性质）也有关。其截 面几何性质由截面惯性矩Iz来反映。 惯性矩的单位是m4，可参看表3.2。23出版社 科技分社建筑力学与结构24出版社 科技分社建筑力学与结构25出版社 科技分社建筑力学与结构26出版社 科技分社建筑力学与结构综上所述，对于等截面梁（Iz不变），梁又是 纯弯曲，其最大正应力应发生在离中性轴最远（y ymax）的边缘处。于是有：27出版社 科技分社建筑力学与结构当梁的横截面形状和尺寸均为已知时，从中性 轴到截面边缘的最大距离ymax也易求得。ymax和Iz 同属于截面

9、几何性质，把两者归类，即令：28出版社 科技分社建筑力学与结构4）横力弯曲的正应力公式 如果梁横截面的弯矩M沿梁的轴线x是变化的 ，那么，最大弯矩所在的横截面更应引起关注！因 为此横截面的应力比其他截面的应力都要大，属于 危险截面。29出版社 科技分社建筑力学与结构图3.15 简支梁沿轴线的正应力分布示意图30出版社 科技分社建筑力学与结构故在跨中的横截面上，其应力比其他横截面都 要大，且横截面愈靠近两端支座应力愈小，在支座 处，弯矩为零，正应力也为零。 于是，式（3.8）就应写成：31出版社 科技分社建筑力学与结构5）强度条件及计算 梁是否会被破坏，仍然需要与所用材料的强度 来比较，并由此建

10、立强度条件。实践和分析表明， 对于一般细而长的梁，影响其强度的主要因素是弯 曲正应力。为了保证梁能够安全地工作，必须使梁 横截面上的最大正应力max不超过材料的抗弯容许 应力，故梁的正应力强度条件为：32出版社 科技分社建筑力学与结构 由式（3.10）可解决3种不同类型的强度计算 问题。 （1）校核梁的强度 已知Mmax，Wz， ，验算三者是否满足式（3.10）。若真则安；若伪 则危。 （2）选择梁的截面 将式（3.10）改写为：33出版社 科技分社建筑力学与结构（3）确定梁的容许荷载 将式（3.10）改写 为：根据Mmax确定容许荷载。34出版社 科技分社建筑力学与结构四、梁的剪应力及强度计

11、算 在工程中遇到的梁，属纯弯曲者少，为横力弯 曲者多，亦即实际中梁的横截面上，其内力不但有 弯矩M而且还有剪力V，相应地，也就有正应力 和剪应力。一般情况下，梁的弯曲正应力是梁强 度计算的主要依据，然而在某些特殊情况之下，比 如，跨度较小的短粗梁、截面高而窄的薄壁梁等， 其剪应力也可能成为支配梁的强度计算的主要因素 。因此，有必要对梁的剪应力强度计算进行研究。 35出版社 科技分社建筑力学与结构1）矩形截面梁的剪应力 如图3.19（a）所示一矩形截面梁受任意横向 荷载作用，矩形截面宽为b、高为h。用一横截面m m截取梁，并以左段为研究对象，如图3.19（b ）或(b)所示。横截面上有弯矩M和剪

12、力V，相应地 横截面上有正应力和剪应力，如图3.19（c）， （d）或(c)，(d)所示。36出版社 科技分社建筑力学与结构图3.19 矩形截面梁的应力分析37出版社 科技分社建筑力学与结构 沿矩形截面高度按二次抛物线规律变化。 在横截面上、下边缘，即y=h2处，=0；在中 性轴（z轴）上，即y=0处，出现最大剪应力：38出版社 科技分社建筑力学与结构式（3.13）中的V是梁的某一横截面上的剪 力。实际计算中应关注最大剪应力所在的横截面， 因为在此横截面上V=Vmax。对于矩形截面：39出版社 科技分社建筑力学与结构2）薄壁截面梁的剪应力 在工程上常遇到工字形、T形和圆环形等薄壁 截面梁，如图

13、3.21所示。所谓“薄壁”，就是它们的 壁厚比起截面其他尺寸（如宽、高）来要小得多， 因此显得很薄。40出版社 科技分社建筑力学与结构图3.21 薄壁截面梁的剪应力分析41出版社 科技分社建筑力学与结构max与min相差不大，特别是当腹板的厚度（ 即宽度）比较小时，二者相差就更小。此时可近似 地认为腹板上的剪应力是均匀分布的。于是得出近 似公式：42出版社 科技分社建筑力学与结构图3.22 判断截面上的最大剪应力43出版社 科技分社建筑力学与结构3）强度条件及计算 与梁的正应力强度计算一样，为了保证梁的安 全正常工作，梁在荷载作用下所产生的最大剪应力 ，也不能超过材料的容许剪应力，即梁的剪应力

14、强 度条件为：44出版社 科技分社建筑力学与结构第二节 杆件的变形与刚度 杆件在外力作用下，既要产生内力（应力）， 也会发生变形。杆件是否破坏，取决于强度条件； 而杆件变形是否过大，则与刚度有关。 “刚”有硬之意，与柔相反，故刚度为描述杆件 抵抗变形的能力。所言变形若小，刚度则大，反之 变形若大，刚度则小。45出版社 科技分社建筑力学与结构一、拉（压）杆的轴向变形虎克定律 外力沿着杆的轴线拉伸或压缩，其变形则为伸 长或缩短。若杆为轴向拉伸，如图3.25（a）所示 ，杆的纵向尺寸变长时，而横向尺寸变短；倘若杆 为轴向压缩，则纵向尺寸变短，而横向尺寸变长， 如图3.25（b）所示。因此，轴向变形就

15、有了纵、 横之分。46出版社 科技分社建筑力学与结构图3.25 轴向变形拉伸与缩短47出版社 科技分社建筑力学与结构1）纵向变形 设拉杆的原长为l，承受一对轴向力P的作用之 后可以伸长也可缩短，其长度变为l1，则杆的纵向 变形（伸长或缩短）为：48出版社 科技分社建筑力学与结构图3.26 拉伸橡皮筋长短不同，变形不一49出版社 科技分社建筑力学与结构很明显，长短不一的两橡皮筋，伸长总量l虽 相同，但变形程度却差别很大。由此可见，仅靠伸 长总量l尚不足以反映杆的变形程度，即还需考虑 杆的长度l的影响。因此，杆的变形程度用纵向应 变或称线应变来表示：50出版社 科技分社建筑力学与结构2）横向变形

16、如图3.25所示，拉（压）杆在产生纵向变形的 同时，横向也发生变形。若设杆在变形前的原横向 尺寸为a，变形后为a1，则杆的横向总变形量为：其横向线应变为：51出版社 科技分社建筑力学与结构实验结果表明：当拉（压）杆的应力不超过材 料的比例极限时，与之比的绝对值为一常数， 并设该常数为，即:52出版社 科技分社建筑力学与结构称之为横向变形系数。这是法国物理学家泊 松（S.D.Poisson）发现的，故又称为泊松比。它 与材料有关，其值可由实验测定。又因与正负 号恒相反，故去掉式（3.20a）中的绝对值符号时 ，应写成：53出版社 科技分社建筑力学与结构当杆内应力不超过材料的某一极限值（即比例 极