[理学]混沌理论简介

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1、 相对论量子力学混沌（chaos）什么是混沌？20世纪物理学的三次革命混沌就是糊里糊涂吧？混沌就是一片浓雾吗？古代观点具体事例1、形容一个人思想上的无知无识称为混沌无知。3、描述空间的一片模糊-盘古。 4、圣经记载。In the beginning God created the heaven and the earth 。And the earth was without form, and void; and darkness was upon the face of the deep. And the Spirit of God moved upon the face of the wa

2、ters. And God said, Let there be light: and there was light. And God saw the light, that it was good: and God divided the light from the darkness 。And God called the light Day, and the darkness he called Night. And the evening and the morning were the first day. 2、人名-黄帝现代科学意义上的混沌系统（总体）：包含我们所要研究的对象的整

3、体叫做系统。 如果要研究水龙头滴下的水滴，水滴就是系统。如果研究草原上某种昆虫生态，一定范围内的昆虫集体就 是研究的系统。如果研究 股票行情， 则某种股票就是研究的系统。如果研究气象，某种范围内的气团就是系统。 线性系统： 研究系统的运动（也就是变化）时，在数学上要给系统的 运动列出运动方程，要是这些运动方程是线性的，这类系统就 是线性系统。非线性系统：如果这些运动方程是非线性的，这类系统就是非线性系统。混沌是非线性系统运动的一种状态。定义1：混沌是系统的无规行为中的规律性.什么是无规行为？怎么知道系统出现无规行为？有规行为-经典力学的发展。伽利略开普勒牛顿拉普拉斯近代科学之父天空的立法者拿破

4、仑的老师经典力学奠基者当伽利略、开普勒、牛顿建立的经典力学体系正确的解释 了行星绕太阳做椭圆运动时给人一种印象-既然两个物体的 运动系统能很好的解决，三个物体组成的运动系统甚至多个物 体组成的系统也应该得到完整解释，不过在计算技巧方面作出 较大努力而已。但是在用牛顿力学解释三体问题时碰到了困难，三体问 题应该说是从确定性的方程出现混沌的最早的问题。何为三体问题？三体乃至N体问题：概括为一句话:在三维空间中给定N个质点，如果他 们之间只有万有引力作用，那么在给定他们的初始位置 和速度的条件下，他们将会在空间做怎样的运动？有趣的故事：庞加莱1885年，在刚创刊不久的瑞典数学杂志Acta Mathe

5、matica的第七卷上出现了一则引人注意的通告：为了庆 祝瑞典和挪威国王奥斯卡二世在1889年的六十岁生日，Acta Mathematica将举办一次数学问题比赛，悬赏2500克郎和一 块金牌。而比赛的题目有四个，其中第一个就是找到N体问题 的所有解。参加比赛的各国数学家必须在1888年的6月1日前 把他们的参赛论文寄给杂志的创办人和主编，著名的瑞典数 学家 米塔格列夫勒。所有论文将被匿名地被一个国际委员会 评判以决出优胜者，然后优胜者的论文将发表在Acta Mathematica上。这个委员会由三个当时赫赫有名的数学家组 成：德国的维尔斯特拉斯，法国的赫密特和米塔格列夫勒本 人组成。庞加莱在

6、 1888年5月提交论文，6个月后宣布成为获胜者 。在1889年冬天庞加莱的论文已经被印刷而且送到了当时最 有名的一些数学家那里。 就在这时负责校对的一位数学家和庞加莱自己都发现了文 章中一些证明不清楚的地方，庞加莱开始修改这些部份并且通 知米塔格列夫勒收回已印出的杂志予以销毁。在1890年十月， 庞加莱论文的新版本才重新问世，这也是我们今天看到的版本 。事实上被销毁的版本仅有158页，而后来的版本是270页。庞 加莱坚持自己支付了印刷第一版的费用：3585克郎，也就是说 算上他的奖金，他在这次比赛中还赔了一千多克郎。但是这次修正是重要的，正是在这次修正中，庞加莱改正 了他的一个稳定性定理，最

7、终导致了他对同宿交错网的发现。有趣的是米塔格莱夫勒原以为他销毁了所有有错误的论文， 然而近百年后在人们在瑞典米塔格莱夫勒数学研究所的旧文件 中还是发现了几本“原版”的庞加莱的论文，他们就象错版邮票 一样成了珍贵文物，也成了数学史研究者和后来的数学家研究 庞加莱的宝贵资料。 庞加莱发现了什么？即使在简单的三体问题中，方程的解得状况也非常复 杂，以至于对于给定的初始条件几乎没有办法预测当时 间趋于无穷时，这个轨道的最终命运，这种对于轨道的 长时间行为时的不确定性，数学家和物理学家成为混沌 （chaos）。庞加莱的发现可以说是混沌的最早起源。三体问题那么困难！嫦娥一号的运动不就是三体问题吗？一 个地

8、球，一个月亮，一个嫦娥一号卫星。三体问题是科学发展史上第一个出现混沌的问题。但在实 用上三体问题还是有一定的近似解的。若三个天体中，一个天体的质量与另外两个天体相比可以 忽略不计，他对另外两个天体的引力作用可以忽略不计时， 则该天体可称为无限小质量天体，两外两个天体则为有限质 量天体，研究无限小质量天体在两个有限质量天体的引力作 用下的动力学作用问题称为-限制性三体问题。嫦娥一号运动的计算就是一个限制性的三体问题。三体问题的进展16世纪以来科学家就在寻找这一问题的简单特解即特 殊情况下的简单稳定运动轨道。欧拉三个质量相同的物体呈直线等距离排列，两端物体绕 中间物体做圆周运动。拉格朗日三个等质量

9、的物体，排成等边三角形绕三角形的中心做 圆周运动。近代计算机运算三个等质量的物体在一条“8”字形轨道上运动。-宇宙中还没找到。经典力学在天体运动和预报潮汐运动中的成功，是的20 世纪50-60年代之间对气象的长期预报充满了盲目的乐观 。人们想既然能预报潮汐为何不能长期预报天气，都是流 体嘛。人类不光能预报天气还应该能改造天气！现实那？混沌的另一个例子-蝴蝶效应洛伦兹他当时先进的计算机排出了云 团运动方程式，计算机算出的数 据基本上与气象员的观测相符合 。计算机是很忠实的用相同的初 始条件总是一丝不苟的给你相同 的结果。1961年的某一天，洛伦兹发现了蝴蝶效应洛伦兹并没有灰心洛伦兹在长期天气预报

10、上遇到的失败，使他的注意力越 来越从气象学转移到数学上来，他要找到一种描述这样的 系统的数学模型，这种系统永远找不到稳定态，它在运动 过程中从来不重复自己的状态。-气象正是这样一种 从不会重复自己的非周期性的系统。洛伦兹成功了？洛伦兹用三个变量，三个方程描述了系统的运动（这三个方 程是非线性的），用三维空间来画出三个变量系统的轨迹。点的轨迹永远不相交，他永 远的在打圈子，表现出一种 无穷尽的复杂性，图像一直 保持在一定的范围内，既不 重复自己也不跑到纸外，轨 迹形成一个奇怪而明确的图 案，像三维空间的一对漩涡 ，又像一对蝴蝶的翅膀。这又是一种 蝴蝶效应吗？不是的，前面已经说过， 蝴蝶效应是指对

11、初始条件的 敏感性，这种运动状态不断 的向某种状态接近在数学称 为吸引子，这种具有两个吸 引子的状态是从洛伦兹的方 程式得到的，被称为洛伦兹 吸引子。-第一个被人发 现的吸引子。小结1混沌是伪装成随机性的规律性。2混沌是系统的无规行为中的规律性3混沌运动对初始条件非常敏感，蝴蝶扇一下翅膀 就会变成一个大风暴。4出现混沌的运动方程式式非线性的。虫口模型-非线性麻雀。（）什么是虫口模型？这是一个生态学的问题，可以研究一定范围内的草原上的 兔子的数目，也可以研究某种昆虫的数目，可以研究一个池塘 里的鱼的数目，也可以研究一个国家的人口的数目。就以兔子为例，设以代表第一年，第二年，第三年，第n年的兔子的

12、数目，若兔子的数目以一定的比 例增加，这个比例系数为，则有：为这样的兔子数：若兔子达到这个数，则草料全部被吃光，兔子全要饿死，则第二年兔子数必然与成正比。（）这样考虑了食物的因素之后（1）成为：这样的迭代方程式也称映射方程式，常把（3）记作：(3)式或者(4)式就是虫口模型的非线性方程式，又叫逻 辑斯蒂方程。()5(5)式的解为：()定点的稳定性问题：从图像可以看出，稳定还是不稳定取决于M(x)曲线在点的斜率，斜率的绝对值小于1，定点是稳定的，斜率的绝 对值大于1，定点就不稳定。 （5） 求微商对曲线方程（6），（7）由可知：(8)二次映射的曲线的斜率为：（9）作出图像：柿子，桃子都有大年小年

13、，大 年产量多，小年产量少。自然界 的很多现象都有着共同的本性。 二周期轨道有 什么特点那？特点：从 (8) 式有：（10）因式分解可得：方程的解为：(11)小结虫口模型得出的混沌的特征：1自相似的规律。2窗口的规律。3黑线的规律。混沌在生活中的例子。在做馒头揉面时，要早发面中放一点碱粉，经过完全 重复的多次揉面动作，减分会在面团中形成均匀分布。这 种过程显然是不可逆的，因为不可能将已经均匀分布的碱 粉重新集中在一起，假如揉面的过程由下图三个基本动作 ：压缩且拉伸，切断，重叠。则揉面就是上述三个动作的 重复。没经过一次三个动作，面团中每个质点的位置都发 生变化（这种变化成为一次面包师变换），可

14、以看出经过 多次面包师变换，可以把原来靠的很近的两个质点分的很 远。如果沿质点运动轨迹测量两个质点之间的距离，原来 差之毫厘的两个质点可以达到差之千里的地步，之中揉面 动作是确定性的，但却产生了质点轨迹很混乱的运动。 （2）振动频率增大可能出现小球运动的周期2形态，即小 球和台面碰撞两次后形态重复。运动图像如下图所示：（3）振动频率再增大，小球运动可能出现混沌运动的形 态。如下图所示：(1)（2）则（1）式可以改写为：（3）假定碰撞时间很短，相对于因重力下落的时间可以忽略，则：（4）设台面振动的规律为：（5）若令：（6）则（4）式和（3）式可变为：（7）这是一个二维映射，是从物理问题用离散动力系统 直接表述的典型例子。混沌是由什么原因 造成的那？有一系列间隔为1的点，从这些点上做斜率为1 的平行线，如下图所示：（1）（2）(3)(5 )(6)(7)（8）（9）小结混沌并不是计算方法的近似性或计算中舍入误差造成 的，而是系统对处置的敏感性，是系统固有的特性。谢 谢 ！