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1、马连荣 荷二 213Email: Tel: 62796896 (O)13901115853 (M)微积分学教程 数学分析习题集高等数学例题与习题集蔡大用等译第1章 极限与连续1.1 实数与实数集 实数集 有理数集与实数集的关系： 稠密、不占满 .无理数的存在性 例1.1.1 不是有理数. 有理数和无理数统称实数.证假设（既约分数），则从而4|左边，从而矛盾！有界集 设A是实数集，对对所有的都成立,称A为有界集，使得 若存在正数则称数集A有界.M称为数集A的一个界.上、下界 设A是实数集.则则称数集A有上界，b 称为A的一个上界；A的一个下界.若存在数a使得 对所对对所有的都成立，有都成立, a
2、 称为若存在数b使得则称数集A有下界，确界若数集A有上界，且A的上界中存在最小值 则称 为数集A的上确界，记 若数集A有下界，且A的下界中存在最大值 则称 为数集A的下确界，记 命题1： 数集A若有上(下)确界，则上(下)确界必 唯一.确界与最值的关系数集A若有最大(小)值 则必有上(下)确界 反之不然.定理1.1.1 数集A有界的充要条件是数集A既有 上界又有下界.命题1可以简单叙述为：数集A若有上(下)界，则必有唯一的上(下)确界.确界的另一种定义： 设A是实数集， 是实数. (1)(2) 则则称为为A的上(下)确界.例1.1.2 集合 有上确界 但没有最大值，因为 公理(确界存在性)：非
3、空实数集若有上界则 若有下界则必有下确界 .必有上确界；且1.2 数列极限1.2.1 数列极限的概念数列 数列是以正整数集为定义域的函数. 因 为其定义域的特殊性，直接记作 或称为为数列的通项项. 例1.2.1 当n无限增大时时， “无限接近”0，或说说“趋趋向”0. 此处处，随着n增大时时， 并非单调递减.第1章 极限与连续随着n增大而增大；当随着n增大而减小.当如何描述“趋向0”？ 定义1.2.1 若对于任意给定的一个正数 都存在正整数设设是一个数列，A是一个常数. 使得时总时总 有 数列在时时的极限. 则称A是称数列收敛，称数列收敛于A，记 若若对对于任意的常数A，数列都不收敛敛于A，发
4、发散. 则称数列称数列是时时的无穷穷小量. 的写法：(为极限)为极限的写法：收敛的写法：发散的写法：从而，例1.2.3 用极限定义证明当 时时，证明：只要即只要从而有 例1.2.2 用极限定义证明 证明：即证明：时时，时时，只要从而有 例1.2.4 用极限定义证明当 时时，时时, 只要 从而有 综综上，当时时，即要 只要从而 即 例1.2.5 用极限定义证明当 时时，证明：当时时, 只要若则证证 因为为 所以 时时，例1.2.6证明，取则当时,第1章 极限与连续1.2 数列极限1.2.2 数列极限的性质定理1.2.1(唯一性) 若收敛敛,则则其极限唯一. 假设设数列有两个不同的极限A和B.不妨
5、设设AB证明：令则则当时时，同时时有所以，收敛的数列的极限必唯一 . 对对于正数和矛盾！定理1.2.2(有界性) 证明：设设对对于正数从而当 令则对于任意的n有 即数列有界. A()收敛的数列必有界. 证明：只证证明的情形. 对对于正数存在正整数N，使得时时有从而有定理1.2.3(保号性) 若 则则存在时时必有正整数N使得则则存在正整数N使得时时必有若定理1.2.3的“逆否”命题 若 且存在正整数N使得则则时时必有对对于正数 存在正整数，使得时时有 从而有综综上，存在正整数 使得当时时有定理1.2.4(保序性) 时时必有则存在正整数N使得若 且证明：对对于正数 存在正整数，使得时时有从而有定理
6、1.2.4的“逆否”命题 若时时必有且存在正整数N使得 则定理1.2.4(保序性) 若，且时时必有则存在正整数N使得证(1)：因为为 所以存在正整数，使得因为为所以存在正整数使得令 则则当时时有所以有定理1.2.5（四则则运算）若则则（1）（2）（3）证(2)：由有界性定理,存在正数使得对对于任意的n有 因为为 所以存在正整数使得因为为 所以存在正整数使得令则则当时时有所以有 因为为所以存在正整数同样样，因 为为所以存在正整数使得使得令 则则当时时有证(3)：因为为 所以对对于正数，存在正整数使得例1.2.7 设设，求解： 所以有 作 业Pp7-8 5(1)(3),7,8 P30 10(3)(4) 11(3)(5)Bye!
