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1、1.1 引言 1.2 时域离散信号 1.3 时域离散系统1.4 时域离散系统的描述线性常系数差分方程 1.5 模拟信号数字处理方法第一章 时域离散信号与时域离散系统 1.1 引言 信号可以分为三种： 时域连续信号、时域离散信号和数字信号。1. 自变量和函数值都取连续值的信号称为时域连续信号 （模拟信号）； 2. 自变量取离散值，而函数值取连续值的信号称为时域 离散信号（序列）； 3. 自变量和函数值均取离散值，称为数字信号。数字信号幅度离散化了的时域离散信号。按自变量与函数值的取值形式不同分类：时间 幅度连续 时间 信号连续连 续离散 时间 信号离散连 续数字 信号离散量化1.2 时域离散信号
2、序列o 时域离散信号o 常用典型序列o 任意序列的表示方法o 序列的运算1. 时域离散信号是一个有序的数字序列，记为 x(n)。例如，对模拟信号xa(t) 等间隔采样，采样间隔为T，得到 例如，通过观测得到的一组离散数据x(n) ，可以用集合符号表示为 x(n) =1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1。注意：当 时，x(n)无定义，但是不 为零（非整数倍T时刻未采样，并非为零） 序列的表示法 对一个模拟信号进行理想采样，可以得到一组有序的数列数字信号和时域离散信号的区别：对连续时间信号 xa(t) =0.9 sin (50t )，每隔0.005s采样一点，得到：x(n)=,0.0,0.6
3、364,0.9,0.6364,0.0,-0.6364,-0.9,-0.6364,如果用4位二进制数表示x(n)的幅度，二进制编码形成的信号xn= 0.000,0.101,0.111,0.101,0.000,1.101,1.111,1.101,如果把xn再换算成十进制xn= 0.0,0.625,0.875,0.625,0.0,-0.625,-0.875,-0.625,数字信号用有限位二进制数表示，时域离散信号不是！ 常用的典型序列(1). 单位采样序列(n) 。 2. 常用的典型序列(2). 单位阶跃序列u (n) (n)与u(n)之间的关系如下式所示： (3). 矩形序列RN(n) 矩形序列可
4、用单位阶跃序列表示如下： 上式中N称为矩形序列的长度。(4). 正弦序列x(n) = sin (n ) 式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度如果正弦序列是由模拟信号xa (t)采样得到的，那么有 xa(t)=sin(t)；xa (t)|t=nT=sin(nT)； x(n)=sin(n)数字角频率与模拟角频率之间的关系: =T数字频率的单位为弧度（rad）,模拟角频率的单位为弧度/秒（rad/s） 正弦序列对变化以2为周期。数字频域考虑问题，只取数字频率的主值区：【- ，+ 】或者【0 ，2 】(7). 周期序列若对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立： x(n)=x(n+N), -
5、0时称为x (n)的滞后序列（延时序列）； 当n0 0时，称为x (n)的超前序列。2) 移位、翻转及尺度变换设序列x(n)如图所示其翻转序列x(-n)如图所示。2) 移位、翻转及尺度变换设序列x(n)如图所示x(mn)的尺度变换运算相当于时间轴n压缩了m倍。 当m=2时，其波形如所示。1.3 时域离散系统 o 时域离散系统o 线性系统o 时不变系统o 线性时不变系统输入/输出关系o 卷积运算o 系统的因果性和稳定性图1.3.1 时域离散系统 设时域离散系统的输入为 x (n)，系统输出序列用y (n) 表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示： y(n)=Tx(n)1. 时域离
6、散系统：其框图y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n) (1.3.4)其中 a和b 为常数。 若系统的输入序列为 x1(n)、x2(n) ，其输出分别为y1(n)和y2(n)表示，即 y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n)则线性系统满足：2. 线性系统：线性系统满足可加性和比例性 时不变系统（移不变系统）：若系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，则这种系统称为时不变系统。【例】 判断y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。解 该系统不是时不变系统。类似于连续时间系统的卷积积分： 4.线性时不变系统输入与输出之间的关系复习：连续系
7、统 f(t)激励下的零状态响应 图 系统的零状态响应 连续信号的积分离散信号的求和卷积和的运算公式： x(n)*(n)=x(n) x(n)*(n-n0)=x(n-n0)复习：连续信号卷积的性质f n与单位序列的卷和v 线性卷积：主要运算是翻转、移位、相乘和相加的这一类卷积称为序列的线性卷积。4) 序列的线性卷积及特点v 线性卷积服从交换律、结合律和分配律。x(n)*h(n)=h(n)*x(n) x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)图1.3.3 卷积的结合律和分配律 卷积的计算方法：1、图
8、解法；2、解析法；3、利用MATLAB工具箱函数。卷和的图解法卷和的图解法1）fn、hn fk、hk2） hk h-k （反转）3） h-k hn-k （平移）4） fk hn-k （相乘）5）求和用图示的方法求卷积和：反褶，平移，相乘，取和2图解法-112431-112231-11-2-4 -31反褶-11-2-31解：平移-112231n=1, y1=11+12=3-112231n=0, y0=11=1-11-212解：平移-112231n=2, y2=11+12+13=6-11-212平移-112231n=3, y2=11+12+13=63-11-213解：平移-112231n=4, y
9、4=12+13=5-11-214平移-112231n=5, y5=13=3322452364 5236451536631相乘，取和-1122311n=6, y6=02.解析法：对于能够写成比较简洁的表达式的离散函数，可以通过定义或者性质求出卷积和。复习：等比数列求和例1 ：已知某离散系统的单位序列响应试求当激励 时,系统的零状态响应解： 由于 时 ， ， ， 故 和 均称为因果序列。 由卷积和公式得解析法数列求和例解:（4）序列长度fn定义在n1,n2以及hn定义在n3,n4上 。若定义fn的序列长度为Nf，hn的序列长度为 Nh，yn的长度为Ny,则v 若两序列分别的长度是N和M，起点分别为
10、N1和M1， 则线性卷积后的序列长度为(N+M-1)，起点为N1M1 。 系统的因果性和稳定性1)系统的因果性 v 因果系统是指 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列 而和 n时刻以后的输入序列无关的系统。因果性 判别准则 线性时不变系统因果性的充要条件: h(n)=0， n0 2) 系统的稳定性v 系统输入有界，系统输出也有界。若 ，则对于稳定系统， 稳定性 判别准则 线性时不变系统稳定的充要条件:系统的单位脉冲响应绝对可和，即例1.3.6设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果性和稳定性。只有当|a|1时 系统稳定的条件是|a
11、|1；解： 由于n0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。 又1.4 时域离散系统的输入输出描述 线性常系数差分方程 o输入输出描述法o线性常系数差分方程o线性常系数差分方程的求解概述o递推法求解线性常系数差分方程方程离散序列差分：连续信号微分 ：差分： 信号的差分分为向前差分和向后差分 ：一阶向前差分定义为：一阶向后差分定义为：1. 输入输出描述法v 时域离散系统输入输出关系用差分方程描述。v 线性时不变系统的输入输出关系用线性常系数差分方程描述2. 线性常系数差分方程 一般地，N 阶线性常系数差分方程表示为：3. 线性常系数差分方程的求解求解差分方程的基本方法：(1)递推解法（适合于计算机
12、求解） 。(2)变换域方法（Z变换）。图 模拟信号数字处理框图采样频率的确定 用采样间隔T对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，得到时域离散信号x(n) ： x(n) =xa(nT)=xa(t)|t=nT1.5.1 采样定理图对模拟信号进行采样1.1 时域采样定理采样信号用 表示，在t=nT时，即在每个采样点上，采样信号的强度（幅度）准确地等于对模拟信号的采样值xa(nT)，而在tnT非采样点上采样信号的幅度为零。时域离散信号（序列）x(n)只有在n为整数时才有定义，否则无定义。因此，采样信号和时域离散信号不相同！采样信号与时域离散信号的区别：下面分析采样前后频谱的变化情况，假设采样前模拟信号的
13、傅立叶变换（已知）采样后的信号的傅立叶变换（待求）冲击串的傅立叶变换（已知）式中，s=2/T，称为采样角频率，单位是rad/s。因此由连续信号FT的频域卷积定理采样信号的傅立叶变换与模拟信号 的傅立叶变换之间的关系采样信号的频谱 是模拟信号的频谱 以采样频率为周期的周期延拓图 采样信号的频谱图 采样信号的理想恢复复习：傅立叶变换的对偶性复习：傅立叶变换的对偶性时域分析仪器示波器时间t（s）电压U （V）频率分析仪器频谱仪频率 f (Hz)幅度 (dBmV)理想低通滤波器按照采样定理的要求选择采样频率，即s2c，实际中对模拟信号进行采样，考虑到理想滤波器G（j)不可实现，要有一定的过渡带，为此可
14、选s=(34)c。在采样之前加一抗混叠的低通滤波器，滤去高于s/2的一些无用的高频分量和杂散信号 1.5.1 将模拟信号转换成数字信号(A/DC)将模拟信号转换成数字信号(A/DC)的过程分两步。第一步：按照一定的采样间隔对模拟信号进行等间隔采样，形成时域离散信号； 第二步：把时域离散信号经过量化和二进制编码形成数字信号。图1.5.5 模/数转换器原理框图 假设A/DC有M位，按照M位对序列进行量化编码以后， A/DC的输出就是M位的二进制编码，即数字信号。例如：模拟信号如下式所示：式中f=50 Hz, 选择采样频率fs=200 Hz，将t=nT代入上式如果将上面的二进制数字信号转换为十进制：=, 0.375 00, 0.906 25, -0.375, -0.906 25, 序列x(n)在数值上等于xa(nT)，将n=, 0, 1, 2, 3, ，代入上式得x(n) =xa(nT)=, 0.382 683, 0.923 879, -0.382 683, -0.923 879, 如果A/DC按照M=6进行量化编码，其中第一位为符号位： =, 0.011 00, 0.111 01, 1.011 00, 1.111 01,
