《2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第6章数列第2节数列的通项公式与求和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第6章数列第2节数列的通项公式与求和（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 2 节节 数列的通项公式与求和数列的通项公式与求和题型 74 数列通项公式的求解1. (2013 安徽文 19）设数列满足，且对任意，函数 na12428aaa，*nN满足. 122cos2sinnnnnxf xaaaxaxax ，02nf（1）求数列的通项公式； xa（2）若，求数列的前 项和.122xnbaxn nbnnxS1. 分析分析 （1）求导，代入，并对所得式子进行变形，从而证明数列是等差数0f列，再由题目条件求基本量，得通项公式.（2）将代入化简，利用分组求和法，结合等差、na等比数列的前 项和公式计算.n解析解析 （1）由题设可得. 1212sincosnnnnnfxaa
2、aaxax对任意，即，故为等差*nN1210nnnnfaaaa121nnnnaaaa na数列.由，可得数列的公差，所以.12a 248aa na1d 2 111nann （2）由知，122nnnbaa111212222nnnn 12nnSbbb.111221221212nn nn 21312nnn 2.（2013 广东文 19）设各项均为正数的数列的前 项和为，满足 nannS，,且构成等比数列2 1441nnSan*nN2514,aaa(1) 证明：；2145aa(2) 求数列的通项公式； na(3) 证明：对一切正整数 ，有n122311111.2nna aa aaa2.分析分析 （1）
3、把代入递推式，可以得到和的关系式，变形1n 2 1441nnSan1a2a可得.（2）鉴于递推式含有的特点，常用公式2145aa2 1441nnSan1,nnSa进行化异为同，得到和的递推式，构造等差数列，进而求11,1, ,2n nnS naSSn1nana出数列的通项.（3）要证的不等式的左边是一个新数列的前 项和，因此要求和、11nna an化简，因为是一个分式，常常通过裂项相消法逐项相消，然后再通过放缩，得出结11nna a论.解析解析 （1）证明：由，得，即，所以2 1441nnSan2 1244 1Sa2 1244 1aa.2 2145aa因为，所以.0na 2145aa（2）因为
4、 2 1441nnSan所以当时， 2n2 14411nnSan由-得，22 144nnnaaa即. 222 14422nnnnaaaan因为，所以，即.0na 12nnaa122nnaan因为成等比数列，所以，即，解得2514,a a a2 5214aa a2 2223 212 2aaa .23a 又由（1）知，所以，所以.2145aa11a 212aa综上知，所以数列是首项为 ，公差为的等差数列.12*nnaanN na12所以.12121nann 所以数列的通项公式为. na21*nannN（3）证明：由（2）知，111 2121nna ann111 2 2121nn所以12231111
5、nna aa aa a111111123352121nn.1111112212422nn3. （2013 江西文 16）正项数列满足：. na2(21)20nnanan(1) 求数列的通项公式； nana(2) 令，数列的前项和为221 (2)n nnbna nbnnT3.分析分析 （1）根据已知的和的关系式进行因式分解，通过得到数列的通项nan0na na公式；（2）把数列的通项公式代入的表达式，利用裂项法求出数列的前项和. nanb nbn解析解析 （1）由，得.由于是正项数列，所22120nnanan210nnana na以.2nan（2）由，则，12 ,1nn nan bna11 11
6、 2121nbn nnn.111111111222311nTnnnn1112121n nn4. (2013 重庆文 16）设数列满足：. na1113nnaaanN，（1）求的通项公式及前项和； nannS（2）已知是等差数列，为其前项和，且，求. nbnTn123123babaaa，20T4.分析分析 根据等比、等差数列的通项公式及前项和公式直接运算求解.n解析解析 （1）由题设知是首项为 ，公比为的等比数列，所以 na13.11 313,311 32n nn nnaS（2），所以公差，123313,1 3913,102babbbd 5d 故.2020 1920 3510102T 5. (2
7、013 湖南文 19）设为数列的前项和，已知，2，nS na01a112nnaaSS.n（1）求，并求数列的通项公式；1a2a na（2）求数列的前项和. nnan5.分析分析 根据消去得到关于的关系式，求其通项；利用错位相12nnnaSSnnSna减法求前项和.n解析解析 （1）令，得，即.因为，所以.1n 2 1112aaa2 11aa10a 11a 令，得，解得.当时，由，即2n 222211aSa 22a 2n122nnnaaa.于是数列是首项为 .公比为的等比数列.因此，.12nnaa na1212nna所以的通项公式为. na12nna（2）由（1）知，.记数列的前项和为，12nn
8、nan12nnnnB于是， 2112 23 22nnBn . 2321 22 23 22nnBn ，得.- 2112222212nnnn nBnn 从而.11 2nnBn 6.（2014 陕西文 4）根据如图所示框图，对大于的整数，输出的数2n列的通项公式是（ ）.i=i+1iN,aNa2,S=ai入 入结束输入NS=1,i=1入 入 a1,ai=2S入入A. B. C. D.2nan21nan2nna 12nna7.（2014 新课标文 16）数列满足，则 .na11 1n naa82a 1a 8.（2014 江西文 17）（本小题满分 12 分）已知数列的前项和. nan23 2nnnSn
9、，*N（1）求数列的通项公式； na（2）求证：对任意，都有，使得成等比数列.1nm*Nmnaaa，19.（2014 大纲文 17）（本小题满分 10 分）数列满足.na12211222nnnaaaaa，（1）设，证明是等差数列；1nnnbaa nb（2）求的通项公式.na10.（2014 广东文 19）（本小题满分 14 分）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足 nannSnS.222*330,nnSnnSnnnN(1)求的值；1a(2)求数列的通项公式； na(3)求证：对一切正整数，有.n11221111 1113nna aaaaa11.（2014 湖南文 16）（本小题满分 12 分
10、）已知数列的前项和. nan22nnnSn，*N(1)求数列的通项公式； na(2)设，求数列的前项和. nna nabn12 nbn212.（2015 陕西文 16）观察下列等式：111221111112343411111111123456456据此规律，第个等式可为_.n12.解析解析 观察等式知，第个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，n2n且分子为 ，分母是 到的连续正整数，等式的右边是.112n111 122nnn故答案为.*111111111234212122nnnnnnN13.（2015 江苏卷 11）设数列满足，且，则数列 na11a 11nnaan*nN前项的和为
11、 1na1013.解析解析 解法一解法一：可以考虑算出前项，但运算化简较繁琐10解法二解法二：由题意得，212aa323aa1nnaan*2,nnN故累加得，从而，1234naan1+234nan1 2n n当时，满足通项故，1n 1211211nan nnn*nN则有123101111 aaaa1111121+223101112021111114.（2015 安徽理 18）已知数列是递增的等比数列，且，. na149aa238a a (1)求数列的通项公式； na(2)设为数列的前项和，求数列的前项和.nS nan11n n nnabS S nbnnT14.解析解析 （1）因为是等比数列，且
12、，所以. na238a a 148a a 联立，又为递增的等比数列，即.141498aaa a A na41aa解得或（舍） ，可得，得.1418aa 1481aa 3418aqa2q 所以.11* 12nn naa qnN（2）由（1）可知，111 22111 2nn n naqSq所以，11211 212121 21nnnnnnb所以.1111111113377152121nnnT 11112212121nnn故.1 * 122 21nnnTnN15.（2015 北京文 16）已知等差数列满足，. na1210aa432aa（1）求的通项公式； na（2）设等比数列满足，；问：与数列的第几项相等？ nb23ba37ba6b na15.解析解析（1）依题意，设等差数列的公差为， nad121210aaad432aad得，.2d 14a 数列的通项公式为. na* 1142122naandnnnN（2）等比数列中，设等比数列的公比为， nb238ba3716ba322bqb.，得，221* 28 22nnn nbbqn N7 6212822bn63n 则与
