初等数论§2不定方程

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1、第二章 不定方程2.1 二元一次不定方程Date1一、问题的提出百钱买百鸡 鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数，则可列出方程如下：消去z得到方程 这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内， 方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数 或正整数解，这种方程组称为不定方程。Date2小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用以铺地板,则下列选择正确的是（ ）分析： 这类问题实质上是“不定方程求正整数解 ”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所 以

2、两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角， 并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转 化成不定方程求正整数解的问题。A、 、 B、 、 C、 、 D、 设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成，则有60m+90n=360.Date3二元一次不定方程的一般形式为注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。Date4二、二元一次不定方程解的形式和判定定理1 若1式有整数解 则1式的一切解可以表示为（2）Date5定理1的证明：证：把2代入1，成立，故2是1的解。Date6例2 写出下列方程通解的形式：Date7说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样， 解决问题的关键在于求一个特解。问题：

3、所有的二元一次方程都有解吗？定理2 有整数解 即为方程1的解。 Date8三、求二元一次不定方程整数解的一般方法先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。对于方程(1),若有解，则可化为一般地，利用辗转相除法，得到Date9例3 求方程 的一个特殊解。 解：用7、4进行辗转相除法Date10例4 求 1的一切整数解。原方程可以化为 先求 3 的一个整数解。1073734，3749+1， 从而 故3的一个整数解是 2的一个整数解是 原方程的整数解为 Date11三、求二元一次不定方程整数解的一般方法代数运算，观察法例5 求 的一切整数解。即得到原方程的一个整数解 从而所求的一切整数解为 Date1

4、2三、求二元一次不定方程整数解的一般方法变量代换法例6 求 的一切整数解。解：原方程可化为 则方程可化为 则方程可化为 则方程可化为 逐步往回代入，可得 Date13习题讲解：则其一切整数解可以表示为设 是原方程的一个非负整数解，t 的取值区间长度为 从而得证。 Date14（1）方程的一般解可以表示为 在a个单位长度内，y一定有整数解。 所以，一定存在某个 ，使得 对此t，代入原方程，得Date15代入原方程，有假设存在非负整数解，则 代入*，显然不成立。 Date16Date172.2 多元一次不定方程一、多元一次不定方程有解的判定定理1 方程 1有解 Date18定理1 方程 假设上述条

5、件对n-1是成立的，下证对n也成立。令其一整数解为 故该方程有解，记为 进而得到 是原方程的一个整数解。 Date19二、多元一次不定方程求解的方法例1 求不定方程 x 2y 3z = 7 的所有整数解。（1）的解为（2）的解为把(4)代入(3),消去t,得注：三元一次不定方程的整数解中含有2个参数.Date20一般地，我们可以给出多元一次不定方程的求解方法.Date21二、多元一次不定方程求解的方法若d不能整除N，则原方程无整数解；否则，继续下面的步骤。(2)构造如下的n-1个方程(3)求出每个方程的所有整数解含参数ti， 再逐步代入上面的方程中，消去所有的ti，从而得到原方程的所有整数解。

6、Date22例2 求方程 的一切整数解。 原方程有整数解。 列出如下的2个方程： (1)的解为 (2)的解为 把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为Date23(1)的解为 (2)的解为 把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为例3 把 分解为三个分母两两互质既约正分数之和。Date24例3 把 分解为三个分母两两互质既约正分数之和。Date252.3 勾股数Date26人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“ 他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？科学家们 想尽了各种方法，比如通过卫星发射向宇宙发出了许多信号，如 地球上人类的语言、音乐等

7、。而我国数学家华罗庚曾经建议，要 探知其他星球上有没有“人”，我们可以发射类似下面的图形，如 果他们是“文明人”，必定认识这种“语言”.那这个图形的到底有什 么秘密呢？ 我是地球人,I am a man on the earth Date27毕达哥拉斯,(公元前 572-前492年) ,古希腊著 名的数学家、哲学家、 天文学家。毕达哥拉斯相传2500年前，毕达 哥拉斯有一次在朋友家里 做客时，从朋友家的地板 中发现了这个秘密.Date28ABCSA+SB=SC等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方.Date29毕达哥拉斯定理：毕达哥拉斯 “勾股定理”在国外，尤其在西 方被称为“毕达哥拉

8、斯定理”或“百 牛定理”相传这个定理是公元前500多年时 古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的 。他发现勾股定理后高兴异常，命令 他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟 大的发现，因此勾股定理又叫做“百 牛定理” Date30赵赵 爽爽 弦弦 图图 赵爽:东汉末至三国时代吴国人 . 为周髀算经作注，并著有 勾股圆方图。这是我国对 勾股定理最早的证明。“赵爽弦图”表现了我 国古人对数学的钻研精神 和聪明才智，它是我国古 代数学的骄傲。正因为如此，这个图案 被选为2002年在北京召开的 国际数学家大会的会徽。Date31c ba=Date32这就是本届大会 会徽的图案这个图案是我国汉代数学 家赵爽在证明勾股

9、定理时用到 的，被称为“赵爽弦图”Date33 1876年4月1日，伽菲尔德 在新英格兰教育日志 上发表了他对勾股定理的 这一证法。 1881年，伽菲尔德就任美 国第二十任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股定 理直观、简捷、易懂、明 了的证明，就把这一证法 称为“总统”证法。 Date34aabbcc伽菲尔德证法: a2 + b2 = c2Date35一、问题的提出 我们把满足二次不定方程 的正整数解称为勾股数. 早在我国古代数学书周髀算经中，就载有“勾三 股四弦五”，实际上说明该方程存在整数解。方程 1的非零整数解如何去求，其解具有怎样的特征， 是这里要回答的问题。 周髀算经是中国流传至今最

10、早的一部数学著作,同 时也是一部天文学著作。现传本大约成书于西汉时期 (公元前一世纪)。也有史家认为它的出现更早，是孕于 周而成于西汉，甚至更有人说它出现在纪元前1000年。 Date36二、二次不定方程 解的形式 为简单起见，我们先求方程1满足下述条件(2)的解注：2中的条件 可以改写为定理1：Date37定理1的证明：不论z如何取值，z2也不可能表示为该形式。 讨论同(2).Date38定理1虽然给出了勾股数的一些特征，如何进一步写出任意的勾股数呢？引理 不定方程 的一切正整数解，可以写成下面的形式充分性显然；必要性的证明如下：Date39定理2：(5)充分性：Date40必要性：定理2：

11、(5)Date41推论 单位圆周上坐标都是有理数的点可以写成的形式，其中a与b是不全为零的整数。证明： 显然都是单位圆周 上的有理点。另一方面，单位圆周 上的有理点代入定理2即得证.Date42Fermat 大定理约于1637年，在Diophantus Arithmetica (Book 2,Problem VIII)的旁白上，Pierre de Fermat 写道：“不可能把一个立方数分成两个立方数，或把一个四次幂分成两个四次幂，或一般地把一个高于二次的幂分成两个同一次的幂；对此，我发现了一个殊堪称道的证明，但这里的空白太小，容不下。” Date43相关高次方程解的判定定理3不定方程 证明反

12、证 不可能！Date44定理3中使用的证明方法称为无穷递降法，常用于判定方程的可解性.Date45推论 方程 没有满足 的整数解。 证: 反证Date46Date47习题提示：连续两次运用 的结论可以得出。仿照 的证法。Date48补充例题：例1. 设x，y，z是互质的勾股数，x是素数，证明：2z 1，2(x y 1)都是平方数.证： 由x2 = (z y)(z y)及x是素数得 z y = x2，z y = 1， 于是2z 1 = x2， 2(x y 1) = (x 1)2 都是平方数。Date49例2.求整数x，y，z，x y z，使x y，x z，y z都是平方数。 解：设 x y =

13、a2，y z = b2，x z = c2， 则 a2 b2 = c2，而方程a2 b2 = c2 的解可以表示为 .由此得x = (u2 v2)2 t，y = (u2 v2)2 t或 4u2v2 t，z = t，u, v, tZ.Date50例3. 求方程x2 xy 6 = 0的整数解。 解：由x(x y) = 6得 从而(x, y) 的取值为：或(3, 1)，或(3, 1)，或(6, 5)，或(6, 5)。(1, 5)，或(1, 5)，或(2, 1)，或(2, 1)，Date51例4. 求方程 的正整数解。解：显然x z，y z， 令x = z s，y = z t，s，tN， 代入方程可得z

14、2 = st， 于是s = a2d，t = b2d，z = abd， 其中a, b, dN，(a, b) = 1， 由此得x = abd a2d，y = abd b2d，z = abd， Date52例5. 证明 x2 y2 z2 = x2y2 没有满足xyz 0的整数解。 证： 设x，y，z是x2 y2 z2 = x2y2的整数解，如果x，y同为奇数，则x2 y2 z2 被4除的余数为2或3，但x2y2被4除的余数为1可以简单验证，此不可能；如果x，y一奇一偶，则x2 y2 z2被4除的余数为1或2， x2y2能够被4整除，此也不可能。如果x，y同为偶数，则z也是偶数， 令x = 2x1，y = 2y1，z = 2z1，代入原方程 得x12 y12 z12 = 22x12y12， 反复以上的推理可得x，y，z能被2的任意次乘幂整除， Date53