《概率论与数理统计(协方差及相关系数、矩)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计(协方差及相关系数、矩)（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.3 协方差及相关系数、矩对于二维随机变量(X，Y)，除了讨论X与Y的数 学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征：协方差和相关系数4.3.1 协方差由4.2.2中方差的性质(3)知,若随机变量X与Y相 互独立,则D(X + Y) = D(X) + D(Y),也就是说,当随机 变量X与Y相互独立时,有EX E(X)Y E(Y)= 0 成立,这意味着当EX E(X)Y E(Y)0时,X与Y 不相互独立,由此可见这个量的重要性4.3.1 协方差定义4.4 设有二维随机变量(X，Y)，如果EX E(X)Y E(Y)存在，则称其为随机变量X与Y的 协方差记为Cov(X，Y)，即Cov
2、(X，Y) = EX E(X)Y E(Y) 这样，上节中方差的性质(3)可改写为D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X，Y)由(4.9)式及(4.10)式知协方差的表达式可以表示为Cov(X，Y) = E(XY) E(X)E(Y) 常利用这个式子来计算协方差Cov(X，Y).4.3.1 协方差由协方差定义，不难知道协方差还具有以下几条性 质：(1) (2) (3) ，a，b为常数；(4) (5) 当随机变量X与Y相互独立时，有Cov(X，Y) = 04.3.1 协方差【例4.22】设随机变量(X，Y)具有概率密度其中区域G由曲线与围成，如图4-4所示，求Cov(X，Y)及D
3、(X + Y)解：4.3.1 协方差4.3 协方差及相关系数、矩4.3.2 相关系数 定义4.5 称为随机变量X与Y的相关系数相关系数XY是一个无量纲的量XY常简记为【例4.23】在例4-22中，求相关系数XY解：因为所以4.3.2 相关系数4.3.2 相关系数下面不加证明地给出相关系数的两条性质：(1) |XY | 1；(2) |XY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使PY = aX + b = 1定义4.6 若XY = 0，称X与Y不相关0 XY 1，称 X与Y正相关， 1 XY 0，称X与Y负相关事实上,相关系数XY是X与Y线性关系强弱的一个 度量,X与Y的线性关系程度随着|XY
4、|的减小而减弱,当|XY| = 1时X与Y的线性关系最强，当XY = 0时，意味X与Y的不存在线性关系，即X 与Y不相关.4.3.2 相关系数由协方差的性质 (5) 当随机变量X与Y相互独立时，有Cov(X，Y) = 0易知定理4.3 若X与Y相互独立，则XY = 0，即X与Y不相关，反之不真这意味着，X与Y不相关仅指X与Y之间不存在线 性关系，并不能说明X与Y不具有其他关系4.3.2 相关系数【例4.24】设随机变量Z服从(，)上的均匀分布 ，又X = sinZ，Y = cosZ，试求相关系数XY解：由于因而Cov(X，Y) = 0，XY = 0相关系数XY = 0，说明随机变量X与Y不相关
5、，但是，由于 ，所以X与Y不独立4.3.3 矩矩的概念在后面的数理统计部分有重要应用定义4.7 设X和Y是随机变量，若E(Xk)，k = 1，2 ，存在，称其为X的k阶原点矩，简称k阶矩；若 存在，称其为X的k阶中心矩； 若 存在，称其为X和Y的k + l阶混合矩；若 存在，称它为 X和Y的k + l阶混合中心矩4.3.3 矩(1) X的k阶原点矩: E(Xk)，k = 1，2， (2) X的k阶中心矩: (3) X和Y的k + l阶混合矩:(4) X和Y的k + l阶混合中心矩:显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，X的方差D(X)是X的二阶中心矩，X和Y的协方差Cov(X,Y)=0是
6、X和Y的二阶混合中心矩【实验4-2】设X和Y分别表示在一分钟内通过某收费站的小 汽车数量和卡车数量，X和Y的联合分布律如下：(1) 期望E(X)、E(Y)、E(XY)(2) 方差D(X)、D(Y)(3) 协方差Cov(X，Y)(4) 相关系数XYYX0123400.050.040.0100 10.050.10.030.020 20.030.050.150.050.02 300.020.080.10.05 4000.020.050.08实验准备：(1) 函数SUMPRODUCT的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3, .)功能：返回多个区域array1,arr
7、ay2,array3, . 对应数值乘积之和(2) 函数MMULT的使用格式：MMULT(array1,array2)功能：返回两数组的矩阵乘积结果矩阵的行数与array1的行数相同，列数与array2的列数相同实验步骤：(1) 整理数据如图4-5所示图4-5 整理数据(2) 计算边缘概率PX = xi和PY = yj在单元格G2中输入公式：= SUM(B2:F2)，并将 其复制到单元格区域G3:G6在单元格B7中输入公式：=SUM(B2:B6)，并将其 复制到单元格区域C7:F7(3) 计算期望E(XY)首先在单元格B9中输入公式：=MMULT(B1:F1,B2:F6)，选中单元格区域B9:
8、F9后，按F2键，再按组合键 Ctrl+Shift+Enter，算出中间数组，如图4-6所示图4-6 计算矩阵乘积然后在单元格B10中输入公式：=MMULT(B9:F9,A2:A6)，即得期望E(XY)，如图4- 7所示图4-7 计算期望E(XY)(4) 计算期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)在单元格B11中输入公式：=SUMPRODUCT(G2:G6,A2:A6)在单元格B12中输入公式：=SUMPRODUCT(B1:F1,B7:F7)在单元格D11中输入公式：=SUMPRODUCT(A2:A6,A2:A6,G2:G6)-B112在单元格D12中输入公式：=SUMPRODUCT(
9、B1:F1,B1:F1,B7:F7)-B122(5) 计算协方差Cov(X，Y)在单元格B14中输入公式：=B10-B11*B12(6) 计算相关系数XY在单元格B15中输入公式：=B14/SQRT(D11*D12)即得结果如图4-8所示图4-8 计算结果第四章 随机变量的数字特征【分赌本问题解答】1654年法国有个职业赌徒De Mer向数学家 Pascal提出了一个使他苦恼了很久的问题：甲乙两 人各出赌注50法郎赌博，约定谁先赢3局，就赢得 全部的100法郎，假定两人赌技相当，且每局无平 局如果当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中 止赌局，问如何分100法郎的赌注才算公平？这个问题在当时引起
10、了许多人的兴趣,显然平均 分对甲不公平,全部归甲对乙又不公平合理的分 法当然是按照一定的比例,甲多分些,乙少分些，那 么如何确定分配比例呢？1654年法国有个职业赌徒De Mer向数学家Pascal提出了一个使他苦恼了很久的问题：甲乙两人各出赌注50法郎赌博，约定谁先赢3局，就赢得全部的100法郎，假定两人赌技相当，且每局无平局如果当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中 止赌局，问如何分100法郎的赌注才算公平？ 分法(1) ：基于已赌的局数分配：甲赢了两局，乙赢了一局，故甲乙两人按2：1 的比例分赌注； 【分赌本问题解答】【分赌本问题解答】分法(2)： Pascal提出了如下的分法：设想再赌下去，甲的最终所得视为一个随机变量 X，其可能值为0或100，再赌两局赌博必结束，结 果无外乎是以下4种情形之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙，其中“甲乙”表示甲胜第一局乙胜第二局，其余类似 由于赌技相同，所以甲在三种情形下可赢得100 法郎，只在一种情形（乙乙）下，赢得0法郎所 以X的分布律如下：【分赌本问题解答】X的分布律如下：因此，Pascal认为，甲的“期望”所得应为（法郎）这种分法不仅考虑了已赌局数，而且还包含了对继续赌下 去的一种“期望”，它比第一种分法更合理这其实也正是数学期望这个名称的由来X010 0 pi1/ 43/ 4
