计算机中数据的表示及其运算

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1、计算机中数据的表示及其运算 计算机进行数据处理时，首先要将相应的数据输入到 计算机中，并以一定的形式存储在计算机中。计算机内部 是一个二进制数字世界，所以，不管是数值数据还是非数 值数据，都必须转换成二进制数的形式，才能存入计算机 中。 数值数据 有确定的值并在数轴上有对应的点。 是非数值数据 非数值数据没有确定的值，如字符、文字 、图像、声音、逻辑数据等。3）计算机中采用二进制的原因（1）物理实现容易，（2）二进制运算简单，（3）机器可 靠性高，（4）通用性强图4.25 各种数据在计算机中的转换过程 431 进位计数制 1） 进位计数制 任何一种计数制，都具有以下三个要点： （1） 数制使用

2、的数码。十进制含10个数码： ；二进制含个数码：，等。 （2） 进位规则。十进制为逢十进一；二进制为逢二 进一等。 （3） 每一个数位上数码所具有的权。十进制数码各位 的权是以10为底的幂，二进制数码各位的权是以为底的 幂。 例如，数828.8的值为8102+2101+8100+810-1 其中，102、101、100、10-1称为权。 对于任何一个十进数N，都可以表示成按权展开的多项式 ： N=dn10n+dn-110n-1+d1101+d0100+d-110- 1+d -m10-m= di10i 其中，di是09十个数字中的任意一个，m、n是正整数， 10被称为十进制数的基数，它是相邻数位

3、的权之比。一般而言，对于用R进制表示的数N（R为任意正整数），可以 按权展开为： N=KnRn+Kn-1Rn-1+K1R1+K0R0+K-1R-1+K-mR-m= KiRi 其中，Ki是0,1,(R-1)个数字中的任意一个，m、n是正整 数，R是基数。表4.1列出了计算机中常用的四种进位计数制。其中十六进 制中的A,B,C,D,E,F分别相当于十进制中10,11,12,13,14,15 的值。 进位制二进制八进制十进制十六进制规则逢二进一 借一当二逢八进一 借一当八逢十进一 借一当十逢十六进一 借一当十六 基数R=2R=8R=10R=16数符0,10,1,2,70,1,2,90,1,2,9 A

4、,B,C,D,E, F 权2i8i10i16i形式表示BODH在十进制中，如将某数的各位向左移动1位，则其值增大 到原来的十倍；如将某数的各位向右移动1位，则其值减少 到原来的十分之一。同样，在二进制中，如将数的各位向左 移动1位，则其值增大到原来的二倍；反之将数的各位向右 移动1位，则其值减少到原来的二分之一。例如，二进数 101011.1在左移1位或右移1位后，其值的变化如下：二进数 值101011.1 43.5 向左移1位 1010111.0 87 向右移1位 10101.11 21.752） 不同进位计数制之间的转换 转换所依据的原则是：如果两个数的值相等，则两数的整数 部分和小数部分

5、的值一定分别相等。 (1) 二进制、八进制和十六进制数转换为十进制数。 任意R进制数转换成十进制数比较简单，只需按权展开然后相 加，其和便是相应的十进制数。这种方法称为按权相加法。 【例4-1】 求与（11011.01）2等值的十进数 解：(11011.01)2=124+123+022+121+120+02- 1+12-2=16+8+0+1+0+0.25=(27.25)10 【例4-2】 将十六进制数35B转换成十进数. 解：(35B)16=3162+5161+11160=768+80+11=(859)10(2) 十进制数转换成二进制数、八进制或十六进制数 整数部分：除基取余法 【例4-3】

6、把18转换成二进制数。 解：2 18 余0(K0) 2 9 余1(K1)24 余0(K2)2 2 余0(K3)2 1 余1(K4)0 所以 （18）10=（10010）2小数部分：乘基取整法 【例4-4】 将(0.8125)10转换成二进制数。 解： 0.8125 21.6250 1(K-1) 2 1.2500 1(K-2) 2 0.5000 0(K-3) 21.0000 1(K-4)所以 (0.8125)10=(0.1101)2（3）二进制数与八进制数的相互转换二进制数转换成八进制数的方法可以概括为“三位并一位”； 八进制数转换成二进制数的方法可以概括为“一位拆三位”； 【例4-6】 将 (

7、11101.1101)2转换成八进制数。 解： 0 1 1 1 0 1 . 1 1 0 1 0 03 5 6 4所以 (11101.1101)2=(35.64)8（4）二进制数与十六进制数的相互转换二进制数转换成十六进制数的方法可以概括为“四位并一位” ； 十六进制数转换成二进制数的方法可以概括为“一位拆四位” ；【例4-7】 将（25.C4）16转换成二进制数。 解： 2 5 . C 40010 0101 1100 0100 所以 (25.C4)16=(100101.110001)2表4.2列出了二、八、十、十六进制数之间的对应关系。 432 机器数 一个数在计算机内部表示成的二进制形式称为

8、机器数，原 来的数称为这个机器数的真值。 机器数具有下列特点： （1） 由于计算机设备的限制，机器数有固定的位数，它所 表示的数受到计算机固有位数的限制，所以机器数具有一定的 范围，超过这个范围便会发生溢出。 （2） 机器数将其真值的符号数字化。计算机中使用具有两 个不同状态的电子器件，它们只能分别表示数字符号“0”和“1” 。所以，数的正负号也只能通过0和1来加以区分。通常，用机 器数中规定的符号位（一般是一个数的最高位）取0或1分别表 示其值的正或负。 （3） 机器数中依靠格式上的约定表示小数点的位置。1）数据的符号表示问题机器数在参与运算时，若将符号位和数值一起进行运算 ，有时会产生错误

9、的结果。例如，6+4的结果应为2，但 按上述方法，则运算如下：10000110 6的机器数+ 00000100 4的机器数10001010 结果为10 常用的几种机器数符号表示方法：原码、补码、反码、移码。 （1） 原码表示法 原码表示的规则是：最左边一位表示数的符号，且以 “0”表示正号，“1”表示负号；其余各位表示数的大小，即 其绝对值。 例如，假设机器数的位数是8，则 +73原=01001001 73 原=11001001 +127 原=01111111 127 原=11111111 对于真值0而言，可以被认为是+0，也可被认为是0。+0 =00000000，0 =10000000，所以

10、数0的原码不唯一，有“正 零”和“负零”之分。原码表示简单易懂，与真值转换方便，用于乘除运算十分 方便。 （2） 补码表示法 模的概念：“模”是指一个计量系统的计数范围。 例如： 时钟的模为12，计量范围是011。若时钟指向11，则再过1 小时，时钟将指向0（即12）。 n位计算机的模为2n，计量范围是02n-1。设n=4，模为 24=16，计量范围是015（二进制表示为00001111）。 若当前值是1111，则再加1，计数值就变为0000，而在最高 位上溢出了一个“1”。 任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。只需把减数用 相应的补码表示就可将减法运算化为加法运算。 对于整数而言，若计算

11、机字长为n位，则X 0X0时，最大值为X补=01111111=+127； 当X0”的值取“真”还是取“假”视X的当时值而确定。 逻辑代数（布尔Boole代数） 是指以代数形式研究逻辑变量及其之间关系的性质和应 用的科学。实际上是一种符号逻辑，所表达和演算的是事物 内部的逻辑关系。逻辑常量和逻辑变量也分别称为布尔常量 和布尔变量。最基本的布尔运算有三种：逻辑非、逻辑与、逻辑或运 算。其他运算可以用这三种基本运算表示。 逻辑非 即逻辑否定，运算规则为： =1 , =0逻辑与 即逻辑乘，用“”（读作“并且”或“与”）表示逻辑与 运算。运算规则为： 00=0 01=0 10=0 11=1有时也用“”（

12、甚至省略）、“”或“AND”作为逻 辑与的运算符，写成AB、 AB或A AND B。 逻辑或 即逻辑加。通常用“”（读作“或”）表示逻辑或运算 。运算规则为： 00=0 01=1 10=1 11=1 有时也用“+”或“OR”作为逻辑或的运算符，写成A+B或A OR B。 逻辑异或 运算表示为 AB。异或运算可以用基本逻辑运算表 示： AB = A+B 异或运算的规律是： 00=0 01=1 10=1 11=0 有时也用“XOR”（Exclusive OR）作为异或的运算符，写成A XOR B。 逻辑常量、逻辑变量、逻辑运算符、括号等适当地连接起来 构成的表达式称为逻辑表达式（或称为布尔表达式）

13、。例如 A+BC，A+ 等都是逻辑表达式，这里的A、B、C 都是逻辑变 量。在逻辑表达式中，规定逻辑运算的优先级按括号，逻辑 非，逻辑与，逻辑或的次序递减。 在逻辑运算中，把逻辑变量的各种可能组合与对应的运算结 果列成表格，这样的表格称为真值表。它是一种全面描述逻 辑运算关系的工具。表4。4是几种基本逻辑运算的真值表。【例1-15】 设A=00110101，B=00001111，计算AB。 00110101）00001111 00000101 所以AB=00000101两个二进制数可以进行按位逻辑运算。若将A中代码看作是字符“5”的ASCII码，则与B进行“ 按位逻辑与”运算后得到的是该字符对应的数值5。