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1、第五章 边界层理论在实际工程中的大多数问题，是流体在固体容器或 管道限制的区域内的流动，这种流动除靠近固体表面的 一薄层流体速度变化较大之外，其余的大部分区域内速 度的梯度很小。首先由于远离固体壁面的大部分流动区域流体的速 度梯度很小，可略去速度的变化，这部分流体之间将无 粘性力存在，视为理想流体，用欧拉方程或伯努利方程 就可求解。 而靠近固体壁面的一个薄层称为流动边界层， 在它内部由于速度梯度较大，不能略去粘性力的作用， 但可以利用边界层很薄的特点，在边界层内把控制方程 简化后再去求解。这种对整个区域求解的问题就转化为求解主流区内 理想流体的流动问题和靠近壁面的边界层内的流动问题 。第一节
2、边界层理论的基本概念一、边界层的定义流体在绕流过 固体壁面流动时紧 靠固体壁面形成速 度梯度较大的流体 薄层称为边界层。把流速相当于主流区速度的 0.99 处(即 v 0.99 v0) 到固体壁面间的距离定义为边界层的厚度。二、边界层的形成与特点流体流过管道时，两种不同的流动形态的判别标准 是雷诺数 Re = Dv/。对于流体绕平板的流动，两种不同的流态的分界线 仍然由雷诺数给出，只不过这时的雷诺数表示形式为 Rex = xv0/（1）层流区：流体统流进入平板后，当进流长度不是 很长，xxc(xc为对应Rex2105的进流深度)，这时 Rex 2105，边界层内部为层流流动，这一个区域称 为层
3、流区。（2）过渡区：随着进流深度的增长，当x xc，使得 Rex 2105 ，且Rex 3106时，边界层内处于一种不 清楚的流动形态，部分层沉，部分湍流，故称为过渡 区。在这一区域内边界层的厚度随进流尺寸增加的相对 较快。（3）湍流区：随着进流尺寸的进一步增加，使得Rex 3106，这时边界层内流动形态已进入湍流状态，边界层 的厚度随进流长度的增加而迅速增加。应当注意，无论是对过渡区还是湍流区，边界层最 靠近壁面的一层始终做层流流动，这一层称为层流底层 ，这主要是因为在最靠近壁面处壁面的作用使该层流体 所受的粘性力永远大于惯性力所致。这里要特别说明的 是，边界层与层流底层是两个不同的概念。层
4、流底层是 根据有无脉动现象来划分，而边界层则是根据有无速度 梯度来划分的。因此，边界层内的流动既可以为层流， 也可以为湍流。第二节 平面层流边界层微分方程应用边界层理论的思想与边界层厚度很薄的特点来 把该方程在边界层内部简化并求解；至于边界层之外的 主流区，则由欧拉方程或伯努利方程描述。对于二维平面不可压缩层流稳定态流动，在直角坐 标系下满足的控制方程为(5-1)式中已去掉了质量力，这主要考虑到对于二维平面 的不可压缩流体，质量力对流动状态产生的影响很小。式(5-1)中的第一式为连续性方程；第二式为x方向 的动量传输方程，可简化为(5-2)式(5-1)中的第三式为 y 方向的动量传输方程，因为
5、 边界层厚度 很小，除 1/(p/y)项外，其它各项与 x 方 向上的动量传输方程相比可略而不计，可简化为(5-3)因为p/y=0故x方向动量中 p/x 可以写为全微 分dp/dx。应用上述方程组去求解边界层内流动问题时 ，特别是式中 p/x 成为全微分后，其值可由主流区的 运动方程求得。对主流区同一 y 值，不同 x 值的伯努利 方程可写为(5-4)由于 与 v0 为常量，故 p 也为常量，即dp/dx=0， 所以式(5-2)可进一步简化(5-5)该方程称为普朗特边界层微分方程，它与连续性方 程式构成了求解边界层内流体流动的控制方程组，即式 (5-1)方程组简化为(5-6)再加上如下的边值条
6、件，就构成完备的定解问题。 边界条件：(5-7)第三节 边界层内积分方程以二维绕平面 流动为例来导出边 界层积分方程，如 固5-2所示。首先对控制体（ 单元体）做动量平衡 计算（在计算过程中 取垂直于纸面 z 方向 为单位长度）：1）流体从AB面单位时间流入的动量记为 Mx 。由 图5-2知，从 AB 面单位时间流入的质量为2）流体从 CD 面单位时间流出的动量记为 Mx+x： 从 CD 面单位时间流出的质量为(5-10)(5-11)3）流体从 BC 面单位时间流入的动量为 Ml 由质 量守恒可知，因为 AD 面没有流体的流入与流出，所以 BC 面流入的质量流量必须等于 CD 面及 AB 面上
7、的质 量流量之差，即又因为 BC 面取在边界层之外，所以流体沿 x 方向 所具有的速度近似等于 v0 由 BC 面流入的动量的 x 分量 为(5-12)4）AD 面上的动量 由于 AD 是固体表面，无流体 通过 AD 流入或流出，即质量通量为零，但由粘性力决 定的粘性动量通量是存在的，其量值为 0 ，所以在控制 体内由 AD 面单位时间传给流体的粘性动量为 0x。沿 x 方向一般来说可能还会存在着压力梯度，所以 作用在 AB 面与 CD 面上的压力差而施加给控制体的冲 量为(5-13)由讨论边界层微分方程时我们知道 p/y=0，所以 ： (5-14)由动量守恒可得(5-15)(5-16)本章小结本章重点叙述了边界层的概念、特点，建立了边界 层的微分方程、积分方程，并介绍了求解方法。对平板 绕流摩擦阻力的计算也进行了简要介绍。实际上，边界 层理论是在数值模拟技术没有发展起来之前，人们为了 运用流体流动的控制方程去解决工程实际问题的一部分 重要工作。尽管现在数值模拟技术已经能够处理某些真 三维实际流体的运动规律，但是通过边界层理论的学习 ，仍然可以领略前人在处理实际流体流动问题上的输妙 简化与抽象思考，这是科学方法最突出的特征，这是精 确的数值模拟所不能替代的。
