《第3章 矩阵的初等变换与线性方程组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3章 矩阵的初等变换与线性方程组（94页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数31 矩阵的初等变换第三章 矩阵的初等变换与线性方程组33 线性方程组的解32 矩阵的秩第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3-1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的 作用。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、消元法解线性方程组 引例求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程第三章 矩阵的初等变换与线性方程组解：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组用“回代”的方法求出解：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组于是解得（2）其中c为任意常数。令x3=c ,方程组的解可记作其中x3为任意取值。第三章 矩阵的初等变换与
2、线性方程组小结：1、上述解方程组的方法称为消元法2、始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍（ 与 相互替换）（以 替换 ）（以 替换 ）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3、上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变 换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换第三章 矩阵的初等变换与线性方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和 常数进行运算，未知量并未参与运算。若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B方程组（1 ）的增广矩阵的变换。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
3、二、矩阵的初等变换定义3-1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:（1）互调：对调两行（对调i，j两行，记作：ri rj ）（2）倍乘：以非零数k乘以某一行的所有元素；（第i行乘以数k，记作：ri k ）（3）倍加：把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去；（第j行的k倍加到第i行上，记作：ri+krj ）1、矩阵的初等变换第三章 矩阵的初等变换与线性方程组定义3-2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换。 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同同理可定义矩阵的初等列变换(所用标记把“r”换成“c”)逆变换逆变换逆变换第三章 矩阵的初等变换与线性方程组2、矩阵的等价关系 如果矩
4、阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B 等价 记作 A B。 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B 就称矩阵A与B行等价 记作 A B。r 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称矩阵A与B列等价 记作 A B。cv等价关系的性质(1)反身性： A A (2)对称性： 若A B 则B A (3)传递性： 若A B B C 则A C 。 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例如用矩阵的初等行变换解方程组（1）：3、矩阵初等变换举例 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第三章 矩阵的初等变换与线性方程组其中c为任意常数。或令x3=c方程组的解可记作B5对应的方程组的解为第三章 矩阵的初等
5、变换与线性方程组4、矩阵初等变换结果形 行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵特点：（1）阶梯线下方全是0；（2）每个台阶高度是1行；（3）阶梯竖线后面第一个元素为非零元。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 行最简形矩阵 行最简形矩阵特点：行阶梯形矩阵非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都为0。 可以证明 对于任何矩阵A 总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组对行最简形矩阵再施以初等列变换 可变成一种形状 更简单的矩阵 称为标准形。c 矩阵的标准形矩阵标准形的特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素全为0。第三章 矩阵的初等变换与线性
6、方程组所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形F是这个等价类中最简单的矩阵.矩阵总可以经过初等变换化为标准形此标准形由m,n,r三个数唯一确定，其中r就是行阶梯形矩 阵中非零行的行数。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例如，c第三章 矩阵的初等变换与线性方程组三、初等变换的性质由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 1、初等矩阵 （1）三种初等变换对应三种初等矩阵。 E(i j)表示对调单位矩阵E的第i j两行(列)得到的初等矩阵。E(i j)左乘矩阵A，相当于：把A的第i j两行对调；E(i j)右乘矩阵A，相当于：把A的第i j两列对调；第三章 矩阵的初
7、等变换与线性方程组E(i(k)表示用非零数 k乘E的第i行(列)得到初等矩阵。E(i(k)左乘矩阵A，相当于：把A的第i行乘k倍；E(i(k)右乘矩阵A，相当于：把A的第i列乘k倍；第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 E(ij(k)表示把单位矩阵E的 第j行的k倍加到第i行上 或把单 位矩阵E的第i列的k倍加到第j列上得到初等矩阵。第i列 第j列E(ij(k)左乘矩阵A，相当于：把A的第j行的k倍加到第i行上； E(ij(k)右乘矩阵A，相当于：把A的第i列的k倍加到第j列上；第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（2）初等矩阵可逆性 初等矩阵都是可逆的 并且 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（
8、3）初等矩阵应用 性质3-1 设A是一个mn矩阵， 对A施行一次初等行变换 相当于对A左乘相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变 换 相当于对A右乘相应的n 阶初等矩阵。 例如 设 则有 r1r2第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（3）初等矩阵应用 性质3-1 设A是一个mn矩阵， 对A施行一次初等行变换 相当于对A左乘相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变 换 相当于对A右乘相应的n 阶初等矩阵。 例如 设 则有 c12c3第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（3）初等矩阵应用 性质3-1 设A是一个mn矩阵， 对A施行一次初等行变换 相当于对A左乘相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变
9、 换 相当于对A右乘相应的n 阶初等矩阵。 性质3-2方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P1 P2 Ps 使AP1P2 Ps v推论 方阵A可逆的充分必要条件是A E r第三章 矩阵的初等变换与线性方程组v注：此定理可以利用上述性质3-1和性质3-2证明。 v考研题： n阶方阵A与B等价，若A=0，则B=_ 。 （1） 存在可逆矩阵P 使PAB （2） 存在可逆矩阵Q 使AQB （3） 存在可逆矩阵P、Q 使PAQB 定理3-1 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组四、初等变换的应用（1）设A B,即A经一系列初等行变换化为B，则有可逆矩阵P，使得PA=B。如何求可逆矩阵P？r由于方
10、法：对矩阵(A E)作初等行变换，化为(B P)。即当把A变为B时，E就变为P。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例3-1 设 的行最简形矩阵为F，求F，并求一个可逆矩阵P，使得PA=F 解 P（A E)(F P)PAF第三章 矩阵的初等变换与线性方程组即第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1、求逆矩阵的初等行变换法强调：由此得到了一个求逆矩阵的巧妙方法初等变换法，即：P(A E)对矩阵(A E)进行初等行变换，当A变为E时，E就变为A1！若矩阵A可逆 设PAE(则P是A的逆矩阵)，显然PEP， 求逆矩阵方法小结：（1）定义法、（2）伴随矩阵法、（3）分块矩阵法、（4）初等行变换法(E A1)(
11、E P)第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例3-2 设 求A1 解1 1 -1 1 1 13 0 -2 0 1 0-2 3 0 0 0 10 -3 1 -3 -2 -30 5 -2 2 2 3第三章 矩阵的初等变换与线性方程组即所以第三章 矩阵的初等变换与线性方程组方法： 对矩阵(A B)作初等行变换，化为(E X)。即当把A变为E时，B就变为X。2、求解矩阵方程 若B是常数列向量 ，则此法可解线性方程组。设A是可逆矩阵，求解第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例3-3 求解矩阵方程AX=B，其中解 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组即所以第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例3-4 设求线性方程
12、组 的解解记 则两个线性方程组可合成一个 矩阵方程AXB第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3-2 矩阵的秩我们已经知道 给定一个mn矩阵A 它的标准形 由数r完全确定。r也就是A的行阶梯形中非零行的行 数 即矩阵A的秩。“秩”者“秩序”也，它来源于求解线性方程组，在求解过 程中需要将“浑水摸鱼”的方程“揪”出来，以维护方程组的 正常 “秩”序！第三章 矩阵的初等变换与线性方程组v上一节的例子： 此例中增广矩阵B的行阶梯形中非零行的行数为3 所以 3便是增广矩阵B的秩 其解为 其中x3为任意取值。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、矩阵秩的概念矩阵的秩1、k阶子式定义3-3 在mn矩阵A中 任
13、取k行与k列(km kn) 位 于这些行列交叉处的k2个元素 不改变它们在A中所处的位置 次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式。 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例如 是A的一个二阶子式mn 矩阵A的k阶子式共有 个。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组2、矩阵的秩定义3-4 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D 且所 有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么D称为矩阵A的最 高阶非零子式 数r称为矩阵A的秩 记作R(A)。并规定零矩 阵的秩等于0。 矩阵A的秩R(A)等于A中非零子式的最高阶数。 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则R(A)s；
14、若A中 所有t阶子式全为0 则R(A)t。 v几个结论 (4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当|A|0时 R(A)n(3)R(AT)R(A)。 (2)若A为mn矩阵 则0R(A)minm n。可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇异矩阵)又称 为降秩矩阵 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组例3-5 求矩阵A和B的秩 其中解（1）在A中 容易看出一个2阶子式 A的3阶子式只有一个|A| 经计算可知|A|0 因此R(A)2 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组提示 以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式：是一个上三角行列式 它显然不等于0 因此R(B)3 （2）B是一个有3个非零行的行阶梯形矩阵 其所有4阶 子式全为零对于行阶梯形矩阵 它的秩就等于非零行的行数。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组二、初等变换法求矩阵的秩定理3-2 若AB 则R(A)R(B)定理3-2给出了求矩阵的秩的方法：只要把矩阵用初 等行变换化成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行 数即是该矩阵的秩 推论 若可逆阵P、Q使得PAQ=B，则R (A)R (B)第三章
