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1、模糊理论建模copyright新余高专数模组一一模糊集合及其运算二二模糊模式识别四四模糊聚类分析模糊理论建模三三模糊综合评判一、模糊集合及其运算模糊理论建模一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母A、B、C等表示。论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母U、V、X、Y等表示。论域U中的每个对象u称为U的元素。模糊集合及其运算在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个经典集合A，则必有 或者 ，用函数表示为：其中函数 称为集合A的特征函数。经典集合有关概念经典集合具有三个性质 :确定性、互斥性、无序性罗素（Russell）悖论：在一个孤岛上唯一
2、的一个 理发师，其工作是“专门替那些不给自己刮胡子的人刮 胡子”，现问理发师本人该不该给自己刮胡子？取论域U=全岛刮胡子的人，集合A=不给自己刮胡子的人，用特征函数刻画为问题：显然理发师 ，那么理发师是否属于A？罗素（Russell）悖论二、模糊集合及其运算美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。基于此，1965年， Zadeh教授在Information and Control杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”,标志着模
3、糊数学的诞生。模糊数学的诞生1、模糊子集模糊子集有关概念设U是论域，称映射 A(x)：U0,1 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶 属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集 ，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模 糊子集的特殊情形.模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为可省略模糊集合常见表示方法（3）向量表示法（2）序偶表示法若论域U为无限集，其上的模糊集表示
4、为：模糊集合常见表示方法2、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义相等：包含：并：交：余：表示取大；表示取小。模糊集的运算几个常用的算子：（1）Zadeh算子（2）取大、乘积算子（3）环和、乘积算子模糊集的常用算子（4）有界和、取小算子（5）有界和、乘积算子（6）Einstain算子模糊集的常用算子3、模糊矩阵定义：设 称R为模糊矩阵。当 只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。当模糊方阵 的对角线上的元素 都为1时，称R为模糊自反矩阵。（1）模糊矩阵间的关系及运算定义：设 都是模糊矩阵，定义相等：包含：模糊矩阵及其运算并：交：余：例：模糊矩阵及其运算（2）模糊矩阵的合成定
5、义：设 称模糊矩阵为A与B的合成，其中 。例：模糊矩阵及其运算其中的“。” 常用Zadeh算子（3）模糊矩阵的转置定义：设 称 为A的转置矩阵，其中 。（4）模糊矩阵的 截矩阵定义：设 对任意的 称为模糊矩阵A的 截矩阵，其中模糊矩阵及其运算例：模糊矩阵及其运算三、隶属函数的确定 1、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：（1）论域U；（2）U中的一个固定元素（3）U中的一个随机运动集合（4）U中的一个以 作为弹性边界的模糊子集A，制约着 的运动。 可以覆盖 也可以不覆盖致使 对A的隶属关系是不确定的。隶属函数的确定特点：在各次试验中， 是固定的，而 在随机变动。模糊统计试验过程：（1）做n次试验
6、，计算出（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为对A的隶属度：隶属函数的确定与概率统计类似，但有区别：若把概率统计 比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内， 则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“ 不动的点”.2、指派方法 这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。3、模糊统计法求隶属函数隶属函数的确定模糊统计法的步骤：（1）确定论域与因素集。（2）要求参与实验者就论域中各给出的点是否属于因 素集的各元素进行投票。（3）统计投票结果，求出隶属函数。 4、其它方法德尔菲法：专家评分法；二元对比排
7、序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。隶属函数的确定例 设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人的身高，请确定U 上的一个模糊集“高个子 (A) ”和隶属函数A(x)。Zadeh表示法 隶属函数的确定向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)隶属函数A(x)可主观的定为：模糊集“矮个子”的隶属 函数如何定义?例：设论域U年龄=20，35，50，65，因素A=年青 人，老年人，20个人参与投票
8、，结果如表所示：隶属函数的确定UA的次数 u A20355065年表人201620老年人001819投票结果表试确定各年龄论域对因素集A的隶属度 20对“年青人”这一概念的隶属度： 20 =20/20=1 20对“老年人”这一概念的隶属度： 20 =0/20=0 所以，20=1，0。同理可求出年龄中各点对于因素集的隶属度35=0.8，050=0.1，0.965=0，0.95二、模糊模式识别模糊模式识别模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，称为标准模式库；二是有待识别的对象。所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。一 最 大 隶 属 原 则最
9、大隶属原则：最大隶属原则：模糊模式识别(一个对象有多个模式，确定最优模式)(多个对象一个模式，确定最优对象)按最大隶属原则， 该人属于老年。解：模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别阈值原则：模糊模式识别二、择近原则1、贴近度表示两个模糊集A，B之间的贴近程度。模糊模式识别C =C =故B比A更贴近于.模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别2、择近原则模糊模式识别模糊模式识别模糊模式识别三、模糊综合评判一级模糊综合评判1多级模糊综合评判2模糊(Fuzzy)综合评判模糊模糊(Fuzzy)(Fuzzy)综合评判综合评判n n对方案、人才、成果的评价，人们的考虑的因素对方案、人才、成果的评价，人们的考虑
10、的因素 很多，而且有些描述很难给出确切的表达，这时很多，而且有些描述很难给出确切的表达，这时 可采用模糊评判方法。它可对人、事、物进行比可采用模糊评判方法。它可对人、事、物进行比 较全面而又定量化的评价，是提高领导决策能力较全面而又定量化的评价，是提高领导决策能力 和管理水平的一种有效方法和管理水平的一种有效方法。模糊(Fuzzy)综合评判有关概念的说明一级综合评判基本步骤步骤：步骤：常用AHP法 得出权重集一级综合评判基本步骤根据运算 的不同定义，对根据运算 的不同定义，对 有以下不同模型：有以下不同模型：几种常见模型几种常见模型最常用最常用 模型模型几种常见模型几种常见模型其中：几种常见模
11、型模糊综合评判的应用举例设有两类顾客，他们据自己的喜好对服装各因素关心 的程度分别为 针对这两类顾客对此服装进行综合评价。评语指标欢迎较欢迎不太欢迎不欢迎花色2000500020001000式样7000200010000耐穿程度0400050001000价格2000300050000模糊综合评判的应用举例模糊综合评判的应用举例单因素评判结果往往 根据多人投票统计得到模糊综合评判的应用举例模糊综合评判的应用举例例：要对某品牌电视机进行模糊综合评价，用户 关心的主要评价因素有图象、声音、价格，假定 这三个因素的权系数向量图象评价，声音评价， 价格评价=0.5,0.3,0.2，下面为很多用户对这种
12、电视机各因素评价的统计结果评语 指标很好较好一般不好图象30%50%20%0声音40%30%20%10%价格10%10%30%50%请给出用户对这种电视机的综合评价结果。模糊综合评判的应用举例模糊综合评判的应用举例模糊综合评判的应用举例二、多级模糊综合评判（以二级为例）问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面多级模糊综合评判二级模糊综合评判的步骤：二级模糊综合评判二级模糊综合评判二级模糊综合评判二级模糊综合评判二级模糊综合评判二级模糊综合评判二级模糊综合评判二级模糊综合评判一、确定因素集U 二、确定评语集V 三、决定各级因素集的权重A和Ai 四、确定二级模糊关系矩阵Ri 五、求出一级模糊关系矩阵
13、R 六、求出最终的综合评判结果并归一化 七、给出模糊综合评判结论二级模糊综合评判的具体步骤 例：要对某校学生的学习成效进行综合评判， 建立的综合评判指标体系如下： 學生學 習成效 綜合評 判情意領域（因素集U1）興 趣（子因素U11） 態 度（子因素U12） 價值觀（子因素U13）認知領域（因素集U2）技能領域（因素集U3）知 識（子因素U21） 理 解（子因素U22） 應 用（子因素U23） 分 析（子因素U24）知覺（子因素U31） 反應（子因素U32） 適應（子因素U33） 創新（子因素U34）学生学习成效模糊综合评判 (1) 确定评判因素集学生学习成效模糊综合评判 学生学习成效模糊综合
14、评判 (2) 确定评语集(3) 确定各因素集之权重用统计的方法，请数位教育专家分別对各子因 素集中之各因素填入权重比例后平均得： 学生学习成效模糊综合评判 (4) 对第二级因素集进行单因素评判构建第二级 模糊关系矩阵学生学习成效模糊综合评判 请教育专家就各因素集中每一因素在V中四 个等级打勾，最后经算术平均得到数据，统 计录表如下： 学生学习成效模糊综合评判 VU1優 甲 乙 丙兴趣 u110.10.30 0.50 0.10 态度 u120.15 0.65 0.20 0 价值观 u130.10 0.55 0.30 0.05对于U1，可得到模糊关系矩阵R1 学生学习成效模糊综合评判 同理对于U2
15、， U3可得到模糊关系矩阵R2 , R3 学生学习成效模糊综合评判 学生学习成效模糊综合评判 (5) 求出一级模糊关系矩阵R(6) 求出最终的综合评判结果 学生学习成效模糊综合评判 对B进行归一化得(7) 给出模糊综合评判结果 学生学习成效模糊综合评判 方法1： 据最大隶属度原则，综合评定为“甲” 上述结论是用主因决定型模型得出，总评价只和起主要用用 的因素有关，其它因素不影响评判结果，其得出的结论可能 不太令人信服。为综合考虑各种因素，可采用等级赋值法等级赋值法。学生学习成效模糊综合评判 方法2： 采用等级赋值法，对各评语等级赋值 优=4，甲=3，乙=2，丙=1那么等级赋值矩阵为 =(4 3 2 1)等级赋值 一般按等 差数列排 列学生学习成效模糊综合评判
