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1、正射影和三垂线定理蝇9.4(2) 正射影和三垂线定理一、点在平面上的射影自点P向平面引垂线 ，垂足P1叫做P1P点P在平面内的正射影(简称射影)如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形 ,则 叫做图形F在这个平面上的射影.二、图形在平面内的射影如果一条直线和一个平面相交 ，但不和这个平面垂直，那么这条 直线叫做平面的斜线(直线PA)PAOa 斜线上一点与斜 足间的线段叫做斜线 段(线段AP)斜线和平面的 交点叫做斜足(A)容易看出：平面的斜线在平面内的 射影仍是一条直线例如在图中， 斜线PA上的点A是斜足，PO ， 点O是垂足，则直线PA在平面内 的射影就是直线OAPAOaPO,PA分别
2、是平面的垂线、斜线, OA是PA在 内的射影，直线a在平面内,且a OA PAOa a PAa平面POA又 a OA，POOA=O，PO a证明：求证：a PA已知:PO ，在平面内的一条直线如果和这 个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这条斜线垂直三垂线定理三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线如果和这 个平面的一条斜线垂直，那么 它也和这条斜线的射影垂直三垂线定理一个平面 (垂面）四条直线（垂线，斜线，射影，直线）PAOa PAOa 三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直PAOa 线面垂直 线斜垂直PAOa 直 线 和平面垂直平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直平面内的直线 和平面的一
3、条 斜线垂直1、两平行直线在一平面内的射影不可能是（ ） A、 两平行直线B、两点2、两直线在平面内的射影是两相交直线，则这两直线的位置关系不是（ ） A、两异面直线;B、两平行直线 C、两相交直线; D、以上都不对巩固练习： DB3斜线b在面内的射影为c，直线a c，则a与 b （ ） A垂直 B不一定垂直 C共面或垂直 D以上都有可能C、一条直线D、两相交直线D应用三垂线定理证明：在正方 体AC1中 ，求证： (1)AC平面D1DB; (2)D1B平面ACB1C1BD1ACA1DB1证明:所以D1B平面ACB1例4 求证: 如果一个角所在平面外一点到角的 两边的距离相等，那么这点在平面内的
4、射影在 这个角的平分线上 BAO=CAO求证：BAO = CAO 证明：PEAB， PFAC，PO ， ABOE，ACOF(三垂线 定理的逆定理 ) PE=PF，PA= P A， R t PAER t PAFAE=AF 又 AO = A O，R t AOE R t AOF已知：BAC在平面内，点P ，PEAB， PFAC，PO ，垂足分别是E、F、O，PE=PFPABCOEF例5、 如图942 道路旁有一条河，河对岸有电 塔AB，高15m， 只用量角器和皮尺作测量工具， 能否求出电塔顶与道路的距离？ 解:在路上取点C、D使BC垂直 于CD，且角CDB为450。 测得CD=20m 因BC是AC在
5、地面上的射影，且 CD垂直于BC，故CD垂直于AC故电塔顶与道路的距离为25mOABCD求证： AD BC 证明：设O是A在平面BCD内的射影， ABCD，ACBD，BOCD，COBD， （三垂线逆定理）O是三角形BDC的垂心，DOBC，（三角形的性质）ADBC，（三垂线定理）练习：1。已知点O是ABC的BC边上的高的任 意一点，且OP平面ABC。求证PA BC。PAOCB证明：OP平面ABCAO是PA在平面ABC内的射影，又AOBC，PA BC。（三垂线定理）练习：如图，PD平面ABC，AC=BC，D为AB 的中点，求证ABPC。PDCBA证明： AC=BC，D是BC的中点，ABCD，PD平
6、面ABC，CD是PC在平面ABC内的射影， ABPC（三垂线定理）5、在正方体AC中， 求证: ACBD,AC平面ABD.BAACDBCD 证明: 连结AC,BD,则BD/ BD ，CC平面AC， AC是AC在平面AC上的射影. BDAC, ACB D.同理可证ACB D.由CB平面AB， ACAB,练习:EADCB解:已知:空间四边形ABCD,AB=AC,DB=DC, 求证:BCAD. 证明: 取BC的中点E,连结AE,DE.EDCBAAB = AC, AEBC.DB = DC DEBC.BC平面AED.BCAD.3如图，ABCD是矩形，PA平面AC，连结PB、PC、PD ，指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由 PBDCA作业：P25 第1、2题、 3题
