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1、3.3.3函数的最大（小）值与导数高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；函数的极大值与极小值统称 为极值. 使函数取得极值的 点x0称为极值点xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6观察下列图形,你能找出函数的极值吗？观察图象，我们发现， 是 函数y=f(x)的极小值， 是函数 y=f(x)的 极大值。 求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f(x) （3）求方程f(x)=0的根 （4）用方程f(x)=0的
2、根，顺次将函数的定 义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号 ，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益 ，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最 大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函 数的最大值和最小值问题函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们 与函数极值关系如何？新 课 引 入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。知识回顾一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数 M满足： 1最大值: （1）对于任意的x
3、I，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值 2最小值 : 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实 数M满足： （1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最小值 观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6在开区间内 的连续函数 不一定有最 大值与最小 值.在闭区间 上的连续函 数必有最大 值与最小值因此：该函数没 有最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)x
4、oyax1by=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在a,b上的最值？一般的如果在区间，a,b上函数y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么它 必有最大值和最小值。观察右边一个定义在 区间a,b上的函数 y=f(x)的图象：发现图中_是极小值，_是极 大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值 是_。f(x1)、f(x3)f(x2) f(b )f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ xX2oaX3bx1yy=f(x)(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最
5、小值.求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；新授课注意:1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而 函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值( 极小值
6、)不一定就是最大值(最小值).题型：求函数的最大值和最小值1、求出所有导数为0的点；2、计算；3、比较确定最值。例2:求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值 与最小值.解: 令 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, 的变化情况如下表:x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1) 1 (1,2) 2 y -0 +0 -0 + y13 4 5 4 13从上表可知,最大值是13,最小值是4.题型：求函数的最大值和最小值练习：函数 y = x + 3 x9x在 4 , 4 上的最大值 为 ,最小值为 .分析: (1) 由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 区间4 , 4
7、端点处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76得x1=3，x2=1 函数值为f (3)=27, f (1)=576-5当x变化时，y 、 y的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4 y+0-0+0 y2027-576比较较以上各函数值值，可知函数在4 , 4 上的最 大值为 f (4) =76，最小值为 f (1)=5练习：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：54-5422-102-18aa-40典型例题反思：本题属于逆向探究题型：其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大 小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 拓展提高1、我们知道，如果在闭区
8、间【a，b】上函数y=f（x ）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大 值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（ a,b）是否一定有最值呢？ 如下图：不一定2、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。3、 如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点， 那么这个极值点必定是最值点。有两个极值点时，函数有无最值情况不定。动手试试4、函数y=x3-3x2，在2，4上的最大值为值为 （ ) (A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20C1. 求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的极值与最值 故函数f(x) 在区间1，5内的极小值为3，最大值 为11，最小值为
9、2 解法二:f (x)=2x-4令f (x)=0，即2x-4=0，得x=2 x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112选做题：解法一:将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函 数单调性处理2、解令解得x0(0, )( , )+-+00( , )0应用处的切线的斜率；设函数 其中（1）当 时，求曲线 在点 （2）求函数 的单调区间与极值。答:（1）斜率为1;(2)（04浙江文21）（本题满分12分） 已知a为实数，（）求导数 ；（）若 ，求 在-2，2上的 最大值和最小值；（）若 在（-，-2和2，+）上都 是递增的，求a的取值范围。一.是利用函数性质二.是利用不等式三.是利用导数 求函数最值的一般方法小结：
