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1、 线性控制系统工程第16章 伯德图分析，稳定性，及幅值和相角裕度(g c)第16章 伯德图图分析,稳稳定性及幅值值和相角裕度 u伯德图中的增益裕度和相角裕度g c(g c)M ( pc) 改变增益的作用是使幅值曲线上下平 移，而相角曲线不变。 如果那么条件稳定条件稳定 考虑下面的例子：K=0.1转折频率为 1, 0.5, 0.34 奈奎斯特稳定性判据： 当相角为-180o时，如果系统幅值小于或等 于1，那么这个系统是稳定的。 在伯德图中， 单位幅值对应 于 MdB=0。例子中: 相位为-180时， 幅值约为 18dB ，因此系统是稳定的。0.01 0.1 1.0 1040200-20-40-9
2、0-180-270图16.1 例子系统的伯德图0相位穿越点增益穿越点增加K 将使幅值曲线向上平移动，从 而使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点 保持不变。 系统最终处 在临界不稳定点 上。 计算临界不稳定时系统的幅值。90180270K1K2K cK31K1K2K3KcReI mRe图.16.2 具有变化K的系统伯德图、奈奎斯特图和根轨迹I mK3KcK2K1在相位-180时， K dB 幅值约为 18dB， 如果系统不稳定：这个结果接近于先前分析的结果 K=0.832. 误差是由伯德图的相角曲线 用直线近似引起的。l伯德图中的增益裕度增益裕度 (用分贝表示)为 Kc 的分贝值 与增益K的分贝值
3、 之差。 伯德图中的增益裕度和相角裕度伯德图中的增益裕度和相角裕度伯德图中的相位裕度： - 相位裕度是使相角曲线向下移动 直到 增益和相角穿越点发生在同一频率时 的纯相角滞后量 。- 在图16.1中 l 在伯德图中获得增益裕度和相位裕 度:增益裕度是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间 的差值(用分贝表示) 。相角裕度是通过增益穿越频率得出的，它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。0db图.16.3 增益裕度和相位裕度GMPMl一般开环传递 函数当 趋于 0 时 系统的型和从伯德图得到系统的型和从伯德图得到 稳态误差稳态误差l0型系统 图.16.4 0型系统的
4、伯德图l1型系统 幅值增益如果k=1 ，那么当 = 1 时，图形经过 Mdb= 0dB线。-20db/decade图.16.5 1型系统的伯德图Kv的值可以通过测 量在 =1处的增 益来获得。如果其他环节 在频率 =1之 前作用于对数幅频特性， 那么应该 用低 频渐 近线的延长线 求出。-20db/decade图.16.6 1 型系统的另一种伯德图l2型系统 如果 ka=1。对数幅频特性在当 =1时，其低频段或它的延长线 会以 40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。Ka 的值可以通过测 量 = 1 处的 增益值来获得。-40db/decade图.16.7 2 型系统的伯德图l相角裕度
5、是确定系统稳 定性的唯一可靠 的参数。l无频率穿越点： - 考虑下面的例子- 相角绝不会穿过 -180 线。 但是相位裕 度可以从增益穿越点 PM=45处获 得， 系统是稳定的。进一步讨论增益裕度和相位裕度进一步讨论增益裕度和相位裕度0.01 0.1 1.0 1040200-20-40-90-180-270图16.8 无相位穿越点的伯德图0K=1MATLAB 仿真 用根轨迹来验证 ： ReI m-10-1图.16.9 系统的根轨迹图l 多个频率穿越点：考虑下面的例子增益穿越频率在=1处, 相角裕度 为-45, 可判断出系统是不稳定的。 这里有两个相位穿越频率，分别为=3 和=300。在每个频率
6、处增益裕度是正 的， 表明系统是稳定的系统。但相位裕度判断系统的确是不稳定的 。0.01 0.1 1.0 10400-40-80-90-180-270图16.10 具有两个相位穿越点的系统0GM1=K (db)K=1GM2=K(db )-20-40-40-60PMMATLAB 仿真用根轨迹来验证 ：在kk2时， 系统再次不稳定。 图.16.11 系统的根轨迹图-1-10-100-1000ReI mK=K2K=K13 polesK=1l单一频率穿越点: 增加相位 考虑下面的例子相位裕度是负的，表明系统是不稳定的 。增益裕度是正的，表明系统是稳定的。考虑相位裕度，系统是稳定的。0.1 1 10 1
7、00400-40-40-90-180-270图16.12 具有单一渐增相位穿越点的系统的伯德图0-40-60PMGM=K1(db)MATLAB 仿真从根轨迹得到证实 ， 系统是条件稳 定的。当kk1时， 系统是不稳定的。 3 poles2 zeroes-2K=K1K=1ReI m图.16.13 系统的根轨迹图l通过伯德图判断稳定性的可靠方法是:l- 如果系统有正的相角裕度，那么系统是 稳定的。l- 相角裕度是由伯德图判定系统稳 定性的 唯一可靠的方法。改进的奈奎斯特判据： 根据沿着频率增 加方向的频率特性，观察临界点是在 其左边还是右边通过，是由极坐标图 判断稳定性的唯一可靠的方法。 当 k
8、k1时， 系统是稳定的-1 ReI m图.16.14 稳定系统的奈奎斯特图l问题: 如图所示的系统， 画出当K=45时 的伯德图， 并确定增益裕度和相位裕度 。 计算使系统稳定的最大K值， 并用劳 斯阵列验证其结果。例题 16.1K -+RC图.SP16.1.1l解:开环传递函数：转折频率发生在=2 和=3处， 将 会在以下的频率范围画出伯德图：0.1 1 10 100200-20-40-90-180-270图.SP16.1.20PMGMMATLAB 仿真获得最大值 Kmax=NK用劳斯阵列来验证结果：特征方程为误差与增益裕度的精确性有关121l问题: 一个单位反馈控制系统，其开环传 递函数为
9、：l 画出当 K=0.8时系统的伯德图， 并确定 增益裕度和相位裕度。 使系统的相位裕 度约为 60的K为何值?l解:例题 16.2转折频率: =1( 两次), =5 (零), n=2 (二 阶系统的转折频率).将在以下频率范围内画出伯德图：画出每一个环节 的增益和相位曲线0.01 0.1 1.0 1040200-20-40-90-180-270图16.2.100.01 0.1 1.0 1040200-20-40-180-360图16.2.20PM=60GM=3db3db二阶环节频率比=/ n频率比=/ n增益裕度为 3 dB，相位裕度约为35。为了给系统提供一个 60的相位裕度，幅 值曲线需要下平移约3dB作业：P339 16.1 a.P339 16.3 e.
