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1、14.2 相似矩阵及特征值和特征向量 的性质上节引入了特征值和特征向量的概念, 那么有什么性质 呢? 本节讨论 他们 的性质, 并 着眼 相似矩阵 的性质.24.2.1、相似矩阵3相似矩阵与相似变换 的性质证明4.2.2、 特征值和特征向量的性质5推论 若 阶方阵A与对角阵6证明则即类推之，有7把上列各式合写成矩阵形式，得8注意. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值9推论 如果n阶方阵A有n个互不相同的特
2、征值， 则A有n个线性无关的特征向量101112注 (1)方阵A的主对角线的元素之和称为 A的迹。此例表明A的所有特征值之和为 A的迹，而A的所有特征值之积为 |A|。 (2)由此容易得到：方阵A可逆的充要条件 是A的所有特征值都不为零。例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤 次，就得1415从定义出发 省略不讲了16例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为解18证证明（用反证法） 从定义出发 省略不讲了1920212223四、小结 相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：24相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 ，而可逆矩阵 称为进行这一变换的 相似变换矩阵
