向量代数与空间解析几何课件

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1、1第八章 向量代数与 空间解析几何2第一节 空间直角坐标系定点横轴纵轴竖轴空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住 z 轴 ，当右手的四个手指度转向 y 轴正向时 ，大拇指的指向就是z 轴的正向.从 x 轴正向以 角3面面面空间直角坐标系共有八个卦限4空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点一个分量为零: 点在坐标面上. 两个分量为零: 点在坐标轴上. 5为空间两点,由勾股定理，得两点间的距离公式： Oxyzz1z2x2x1y1y2M2 M16在 z 轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距 离的点.设该点为M(0, 0, z) ,由题设 |

2、MA| = |MB| ,即解得即所求点为例1解7第二节 向量的线性运算和向量的坐标表示一、向量的概念1、向量: 既有大小, 又有方向的量, 称为向量 (或矢量).用一条有方向的线段来表示向量.2、向量的几何表示法以线段的长度表示向量的大小, AB特别: 模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量.记为 ,它的方向可以看作是任意的.有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点, B为终点的向量, 记为 或 .AB向量 的大小叫做向量的模. 记为 或 . ABAB| |83、自由向量自由向量：只有大小、方向, 而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移的性质.大小相等且方向相同,4、向量相等

3、即通过平移可以使它们重合,95、向量平行(或共线)6、向量共面当把若干个向量的起点放在一起时,若它们的 终点和公共起点在一个平面上,则称这些向量共面. 如果两个向量 与 的方向相同或相反,称为平行,记为 10特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.AOB或.7、两向量的夹角将它们平移，使得始点重合， 平行，111、向量的加法(1) 平行四边形法则(2) 三角形法则向量的加法二、向量的线性运算12向量加法的运算规律：(1) 交换律: (2) 结合律:13多个向量相加: 例如,142、向量的减法：(2) 向量减法.规定:(1) 负向量: 与 模相同而方向相反的向量

4、, 称为 的负向量, 记作 .将 之一平移, 使起 点重合, 由 的终点向 的 终点作一向量, 即为 153、向量与数的乘法定义模： 当 0时, 当 0时, 当 = 0时, 设为实数. 规定: 向量 与数 的 为一个向量.方向：16向量与数的乘积的运算规律:(1) 结合律:(2) 分配律:定理向量的单位化 ：17例2 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于 第三边,且其长度等于第三边的一半. 证ABCDE所以所以且18例3证ABCDEFO19练习：20三、向量的坐标表示1. 起点在原点的向量(向径)OM 设点 M (x,y, z)zijkMoxyCABzy x N以 分别表示沿x, y, z

5、轴正向的单位向量, 称为基本单 位向量.OM = OA + AN +NM = OA + OB + OC称 OA、OB、OC分别是OM 在 x 轴, y 轴, z 轴 上的分向量, 而x, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投 影, 称为OM 的坐标.简记为 , 此称为向量 的坐标表示式.21向量在 轴上的投影向量在 轴上的投影向量在 轴上的投影2. 起点不在原点O的任一向量 设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)22按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标：向量的坐标表达式：特殊地：23利用坐标作向量的线性运算24两向量平行的充要条件

6、：即 ax = bx，ay = by，az = bz，于是即对应的坐标成比例.注: 在上 式中规定, 若某个分母为零, 则相应的分子 也为零.已知设且为常数,25设为直线上的点，例4解由题意知：2627向量的模的坐标表示由勾股定理知，此即向量模的坐标表示. 28方向角与方向余弦非零向量与三条坐标轴的正向的夹角 称为方向角.29方向角与方向余弦非零向量与三条坐标轴的正向的夹角 称为方向角.由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.30方向角与方向余弦非零向量与三条坐标轴的正向的夹角 称为方向角.向量方向余弦的坐标表示式31方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为32已知两点M1

7、(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 计算向量 M1 M2的模, 方向余弦和方向角.例5解M1 M2 = 1, 1, 模:方向余弦：方向角：33已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3). 求方向和AB 一致的单位向量.例6解34练习：P8 习题8.21. 35sF 解: 由物理知, 与位移平行的 分力作功, 与位移垂直的 分力不作功. 于是第三节 向量的数量积与向量积一、向量的数量积例如: 设力 F 作用于某物体上, 物体有一段位移 S , 求功的表示式.36数量积也称为“点积”、“内积”.结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和 另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.定义

8、投影37数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若 为数 ：38关于数量积的说明：证证39例1 利用向量证明三角形的余弦定理证40例2证所以41数量积的坐标表达式设42两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为43例3解(1)(2)44例4解45二、两向量的向量积先研究物体转动时产生的力矩M 的方向: 垂直于OP与F 所在的平面 , 指向使OP、F与M 满足右手规则.46定义向量积也称为“叉积”、“外积”.47注: （1）向量积的模的几何意义.48向量积符合下列运算规律：（1）反交换律：（2）分配律：（3）若 为数 ： 例549向量积的坐标表达式设50向量积还可

9、用三阶行列式表示51例6解52三角形ABC的面积为例7解53三、向量的混合积定义设混合积的坐标表达式54（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：55ABCD例8解56ABCD57例9解 只要判别三个向量AB、AC、AD是否共面即可 因此 A、B、C、D 四点共面 58解例1059向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）小结60练习：P15 习题8.31. 61如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量法线向量的特征 ：垂直于平面内的任一向量已知平面的法线向量为设平面上的任一点为第四节 平面方程和空间

10、直线方程一、平面及其方程且过点求平面方程.1、平面的点法式方程62 平面的点法式方程63解例1化简得所求平面方程为由平面的点法式64取所求平面方程为化简得解例2BCA65 称为平面的三点式方程 66所以所求平面的法向量为化简得所求平面方程为解例3两平面的法向分别为672、平面的一般方程前面看到,平面可用三元一次方程表示；反之, 任一三元一次方程 （* ） 当 A,B,C 不全为零时,表示一张平面, 它的法向为 （*）称为平面的一般方程. 68平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过 轴；平面平行于 轴；平面平行于 坐标面；类似地可讨论 情形.类似地可讨论 情形.69解例4 求通过

11、 x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.由于平面过 x 轴, 所以 A = D = 0.设所求平面的方程为 By + Cz = 0 ,又点(4, 3, 1)在平面上, 所以3B C = 0 , C = 3B ,所求平面方程为 By 3Bz = 0 ,所以所求平面方程为70设平面方程为将三点坐标代入得解例571代入即得所求方程为平面的截距式方程oyP xzQR72把平面方程化为截距式解例673两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.定义（通常取锐角）3、两平面的夹角74按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征：/75解例7两平面的法向分别为76解例8 判断下列各组平面的位置

12、关系：两平面平行两平面平行但不重合解77两平面平行所以两平面重合.解78解例9所求平面的法向为化简得79解例10设所求方程为80解4、点到平面的距离而81 点到平面距离公式82平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程一般方程截距式方程（注意两平面的位置关系）小结83定义空间直线可看成两个不平行平面的交线 空间直线的一般方程二、空间直线及其方程1、空间直线的一般方程84方向向量的定义：如果一非零向量平行于一 条已知直线，这个向量称为这 条直线的方向向量/2、空间直线的点向式方程与参数方程85 直线的点向式方程(或对称式方程)此时直线与 x 轴垂直；

13、此时直线与 xOy 面垂直. 86令直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦. 直线的参数方程87解例11 直线的两点式方程 方向向量为所以所求直线方程为88所以交点为取所求直线方程解例12因为直线和 y 轴垂直相交, 89解例13 将直线一般式化为对称方程及参数方程： 先在直线上找一点：解得90再求方向向量：参数方程为91定义直线直线两直线的方向向量的夹角称为 两直线的夹角.（通常取锐角） 两直线的夹角公式3、两直线的夹角 s1s292两直线的位置关系：/直线直线例如，93解例1494定义直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角4、直线与平面的夹角95 直线与平面的夹角

14、公式直线与平面的位置关系：/96例15 判定下列各组直线与平面的关系：又点M0(3, 4, 0)在直线 L 上, 但不在平面上,所以 L 与 平行, 但不重合.解L的方向向量 的法向量所以 L 与 平行.97解L的方向向量 的法向量所以 L 与 垂直.例15 判定下列各组直线与平面的关系：98解L的方向向量的法向量所以 L 与 平行.又 L 上的点 M0(2, 2, 3) 满足平面方程,所以 L 与 重合.例15 判定下列各组直线与平面的关系：99为所求夹角解例16100解例17例18解方向向量101例19解 过点 A 且与直线 L 垂直的平面 ：再求直线 L 与平面 的交点(垂足)： 代入的

15、方程, 102所求直线为过点 A,B 的直线： 例19解1035、平面束方程设两张平面相交于直线 L , 则过 L 的平面束可表示为 104例20解由此得到所求平面方程为 105比较 ：解所以其法向为为 由点法式得所求平面的方程为为 即106例21解由此得到所求平面方程为 107例22解先求 L的方向向量 ： 方法1108方法1例22解109方法2设过直线 L的平面束方程为 例22110以下同方法1.方法2设过直线 L的平面束方程为 例22111例23解过已知直线的平面束方程为112解得代回平面束方程, 得所求平面方程为1136、点到直线的距离 解所以114例24解115例25解直线线的方向向量为为 所以所求距离为为 116例26解法1分析两异面直线间的距离d，即介于两异面直线间 公垂线段的长. 法向为117解法1 法向为例26118利用混合积、向量积的几何意义知: 两异面直线间的距离为 解法2例26119空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程