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1、 一、向量的概念零向量：模长为0的向量.模长为1的向量.单位向量：或向量：既有大小又有方向的量.向量表示：或| |向量的模：向量的大小.或相等向量：大小相等且方向相同的向量.二、向量的线性运算 向量的加减法1 1 加法：（平行四边形法则）特殊地：若分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）2 减法并按向量相加的三角形法则,可得n个向量想加的法 则如下:使前一向量的终点作为次一向量的起点,相 继作 向量,再以第一向量的起点为起 点,最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量为 所求的和.负向量：大小相等但方向相反的向量.2 向
2、量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律 ：（1）结合律：（2）分配律：向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算.例1由于MB=-MD,所以又因所以因为MC=-MA,所以按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.两个向量的平行关系证充分性显然；必要性两式相减，得三、空间点的直角坐标在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量 ，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴,依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),统称坐标轴.它们构称一个空间直角坐标系,称为Oxyz坐标系或 坐标系.通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的
3、正向通常符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以 角度转向正向y 轴时,大拇指的指向就是z轴的正向.面面面空间直角坐标系共有八个卦限三个坐标平面，三条坐标轴空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点OMOM向量 称为点M关于原点O的向径。OM上式称为向量 的坐标分解式，四、利用坐标作向量的线性运算例3 求解以向量为未知元的线性方程组其中五、向量的模、方向角、投影1。向量的模与两点间的距离公式OM=OP+OQ+OROPOQOROMAB=OB-OA=即得A、B两点间的距离解 因为解 因为 AB=OB-OA=所以于是空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空
4、间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.2. 方向角与方向余弦从而类似可知注意：解由关系式3.向量在轴上的投影设点O及单位向量er确定u轴,任给向量rr,作rOMr=，再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M（点M叫作点M在 u轴上的投影），则向量MO称为向量rr在 u轴上的分向量。 设eMOrl=，则数l称为向量 rr在 u轴上的投影，记作rprjur或ur)(r。 ar按此定义，向量 在直角坐标系Oxyz中的坐标zyxaaa、就是 ar在三条坐标轴上的投影， 即 性质1性质3性质2解于是思考题一 在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？思考题二已知平行四边形ABCD的对角线试用 表示平行四边形四边上对应的向量.思考题三思考题一解答A:; B:; C:; D:;思考题二解答思考题三解答对角线的长为
