弹性力学——平面问题的极坐标解答

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1、第四章 平面问题的极坐标解答胡 衡武汉大学土木建筑工程学院弹 性 力 学 及 有 限 元二零零八年五月极坐标中的应力分量 xyo由径向线和圆弧线围成的 圆形，扇形等弹性体，适 合用极坐标求解。与直角坐标的区别：1. 坐标的量纲不同。2. 坐标的方向不同。与直角坐标的相同处：1. 应力与体力的正负号规定相同 。2. 切应力互等。极坐标中的平衡方程（1） xyo极坐标中的平衡方程（2） xyoxyoPAPABBC极坐标中的几何方程（1） 假定只有径向位移BPAxyoPAB极坐标中的几何方程（2） 假定只有环向位移xyoP AP ABBC极坐标中的几何方程（3） 纯径向位移下的线应变很小，导致PC与

2、PB 的差别可以忽略，因此：xyoP AP ABBC极坐标中的几何方程（4） 纯径向位移下的切应变在仅有径向位移的情况下，段 PA没有转动，因此：BPAxyoP AB极坐标中的几何方程（5） 纯环向位移下的线应变DD很小，导致PA与 PA的差别可以忽略，因此：BPAxyoP AB极坐标中的几何方程（6） 纯环向位移下的切应变DD极坐标中的几何方程（7）将纯环向与纯径向位移的结果相加得极坐标 中的几何方程：极坐标中的物理方程极坐标中的物理方程与直角坐标中的物理方程形式 一样，只需将直角坐标 x 和 y 换成 和 即可，如 平面应力问题的物理方程为：换为换为对于平面应变问题：极坐标中的应力函数与相

3、容方程（1）为了简化推导，可以将直角坐标的公式直接变换到极坐 标中来，为此，我们需要如下关系式：极坐标中的应力函数与相容方程（2）建立直角坐标中的应力函数与极坐标中应力函数的关系：极坐标中的应力函数与相容方程（3）证明以上应力分量满足平衡方程。极坐标中的应力函数与相容方程（4）代入直角坐标中的相容方程：将环向正应力与径向正应力相加：得到极坐标中的相容方程：注：当不计体力时，在 极坐标中按应力求解平 面问题需要满足相容方 程，应力边界条件以及 位移单值条件。应力分量的坐标变换式（1）应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立 两者之间的关系。 xyoB A设A中斜边上的面积为ds,则由A中

4、径向上的力平衡，得到：应力分量的坐标变换式（2）应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立 两者之间的关系。 xyoB A简化后得到：应力分量的坐标变换式（3）应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立 两者之间的关系。 xyoB A由A中环向上的力平衡，得到：应力分量的坐标变换式（4）应力分量在直角坐标系与极坐标系之间的转换需要建立 两者之间的关系。 xyoB A由B中环向上的力平衡，得到：应力分量的坐标变换式（5）整理结果如下：轴对称应力状态下的应力（1）所谓轴对称，是指物体的形状或某物理量是绕一轴对称 的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。因此，轴对称 应力状态下的应力分量只与

5、径向坐标有关而与环向坐标 无关，而应力函数只是径向坐标的函数，即：简化相容方程：轴对称应力状态下的应力（2）轴对称问题的拉普拉斯算子可以写成：代入相容方程：得到：轴对称应力状态下的应力（3）积分四次 得到应力 函数：轴对称应力状态下的应力（4）轴对称问题的应力分量函数：轴对称应力状态下的位移（1）由物理方程可由应力分量得到应变分量：轴对称应力状态下的位移（2）由几何方程可由应变分量得到位移分量：轴对称应力状态下的位移（3）轴对称应力状态下的位移（4）将以上得到的环向径向位移代入切应变的几何方程：得到：轴对称应力状态下的位移（4）分离变量以便求得未知函数的形式：轴对称应力状态下的位移（5）轴对称

6、应力状态下的位移（6）代入得到轴对称问题小结以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一般表 达式，适用任何轴对称应力问题。其中，待定系数将由应 力边界条件，位移边界条件和位移单值条件确定。若位移 边界条件也是轴对称的，则位移也是轴对称的。圆环或圆筒受均布压力（1）q1q2边界条件：圆环或圆筒受均布压力（2）q1q2两个方程三个未知数，不能求解A，B ，C。因此，需引入位移单值条件：该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0圆环或圆筒受均布压力（3）q1q2因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅（ G.Lame,17951870 ，法国）解答：圆环或圆筒受均布压力（4）q1q2若只有

7、内压力，则径向正应力为压应力，而环向正应力为拉应力。另外，若R无穷大，即在无限大薄板中有一圆孔，或在无限大弹性体中 有一孔道，则：注：远离孔口处应力很小 ，可以不计。压力隧洞（1）设有圆筒，埋在无限大弹 性体中，受有均布压力q， 圆筒和无限大弹性体的弹 性常数分别为E，和E， 。圆筒内外径分别为r 和R。无限大弹性体可看成是内 径为R而外径为无限大的圆 筒。q压力隧洞（2）圆筒无限大弹性体轴对称问题环向位移的一般解答：圆筒无限大弹性体压力隧洞（3）由应力边界条件得：1. 圆筒内壁：2. 无限大弹性体离 圆筒无限远处：3. 接触面：压力隧洞（4）由位移边界条件得：4. 接触面：平面应力状态下轴对

8、称问题的径向位移解答：平面应变状态下轴对称问题的径向位移解答： 0压力隧洞（5）径向位移解答：4. 接触面：n压力隧洞（6）应力分量的最终解答：小结：该问题是最简单的接触问题，属于完全接触问题。在接触面上， 两弹性体的正应力与切应力相等，法向与切向位移也相等。光滑接触属于非完全接触，在接触面上，两弹性体的正应力与法向位移 相等，而切向位移不相等。此外，还有摩擦滑移接触，在法向上，正应 力及位移相等，在切向上，则达到极限滑移状态而产生移动，此时两弹 性体的切应力都等于极限摩擦力。圆孔孔口应力集中（1）本节研究小孔口问题，即孔口尺寸远小于弹性体尺寸，并 且孔边距弹性体边界也较远。xy孔口附近的应力

9、远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较 远处的应力，这种现象叫孔口应力集中。圆孔孔口应力集中（2） 四边受拉力qxyAqqq以坐标原点为圆心，以远大于圆孔半径r 的长度R作一个大圆，如虚线所示。则直 角坐标问题转化为极坐标问题。由极坐标与直角坐标应力分量的转换公式：在虚线上的任意一点的直角坐标应力分 量为：在虚线圆上：圆孔孔口应力集中（3） 四边受拉力qxyAqqqq0-q圆孔孔口应力集中（4） 四边受拉力q0-qR远大于r,则r/R=0 矩形薄板在离开边界较远处有圆孔，在四边受均布拉 力的引力分量函数：圆孔孔口应力集中（5） 左右两边受拉力，上下两边受压力qxyAqqq由极坐标与直角坐标应力分

10、量的转 换公式：外边界上的边界条件内边界上的边界条件圆孔孔口应力集中（6） 左右两边受拉力，上下两边受压力qxyAqqq不能将边界条件代入上式，因为上式仅适用于轴 对称应力状态下的应力分量，而本问题不是轴对 称应力状态（如径向正应力是环向坐标的函数） 。圆孔孔口应力集中（7） 左右两边受拉力，上下两边受压力qxyAqqq圆孔孔口应力集中（8） 左右两边受拉力，上下两边受压力qxyAqqq代入相容方程圆孔孔口应力集中（9） 左右两边受拉力，上下两边受压力qxyAqqq圆孔孔口应力集中（10） 左右两边受拉力，上下两边受压力qxyAqqq代入圆孔孔口应力集中（11） 左右两边受拉力，上下两边受压力

11、qxyAqqq左右两边受拉力，上下两边受压力 ，离边界较远处有圆孔的应力分量 函数：圆孔孔口应力集中（12） 载荷的组合q1q2q1q2A(q1+q2)/2(q1+q2)/2(q1+q2)/2(q1+q2)/2(q1-q2)/2(q1-q2)/2(q1-q2)/2（q1-q2）/2左右两边受一种拉力，上下两 边受另一种拉力的薄板，可认 为是以下两种载荷的组合。圆孔孔口应力集中（12） 载荷的组合qqAq/2q/2q/2q/2q/2q/2q/2q/2左右两边受拉力，上下两边不 受拉力的薄板，可认为是以下 两种载荷的组合。圆孔孔口应力集中（13） 载荷的组合Aq/2q/2q/2q/2q/2q/2q

12、/2q/2qq圆孔孔口应力集中（14） 载荷的组合注：另外两个应力分量在孔边为零 。xyAqq圆孔孔口应力集中（15） 载荷的组合xyA注：孔边应力是 均匀应力的三倍qq圆孔孔口应力集中（15） 载荷的组合xyA小孔口问题小结（1）小孔口问题的特点：1.集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力。2.局部性，孔口附近的应力扰动主要发生在距孔 边1.5倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开 孔引起的应力扰动一般小于5%，可以忽略不计。注：圆孔的应力集中程度较低，有凹尖角的孔口 应力集中程度较高，因此，在设计结构时应尽量 避免有凹尖角的孔口。小孔口问题小结（2）如有任意形状的薄板，受有任意面力，而在距

13、边 界较远处有一小圆孔，那么只要有了无孔时的应 力解答，也就可以计算孔边的应力，其过程如下 ：1.求出无孔时相应于圆孔中心的应力分量，2.由平面中一点的应力状态，求得两个主应力的 方向和大小。3.将两个主应力认为是在两个方向上的均布载荷 ，则根据上面的叠加法可求得孔边应力。半面体在边界上受集中力（1）设有半面体受集中力，如右 图所示。其中F为单位厚度 上所受的力，量纲为MT2。abcF用半逆解法求解：由于应力分量是, ,F 的函数，而应力分量的量纲为L-1MT-2， F的量纲为MT-2，角度的量纲为一，因此各应力 分量只能取FN-1的形式，其中N为量纲一的量 。又因为应力函数中的幂次比应力分量

14、高两 阶，因此假定：o半面体在边界上受集中力（2）abcF代入极坐标中的相容方程：得到：o半面体在边界上受集中力（3）abcF代入：xy 应力函数中的常数以及关于坐标的一次项 略去后不影响应力分量的计算。o半面体在边界上受集中力（4）abcFo半面体在边界上受集中力（5）abcF边界条件：在o点之外的ac面上，没有任何的法向 或者切向的面力，因此，上式中的后两个方程完 全满足边界条件。o半面体在边界上受集中力（6）abcF在o点附近切出一部分脱离体 oabc，运用圣维南原理：o半面体在边界上受集中力（7）abcFo半面体在边界上受垂直集中力（1 ）abcFo当F垂直于直线边界时：半面体在边界上

15、受垂直集中力（2 ）abcFo将上式中的三角函数用直角坐标表示就可以得到直角坐标 下的该问题的应力分量函数。半面体在边界上受垂直集中力（3 ）abcFo半面体在边界上受垂直集中力（4 ）abcFo半面体在边界上受垂直集中力（5 ）abcFo半面体在边界上受垂直集中力（6 ）abcFo半面体在边界上受垂直集中力（7 ）abcFo注：常数I不能确定，因为它 代表了半面体在铅直方向上的 刚体位移。如果在铅直方向上 有约束，则可以确定I值。半面体在边界上受垂直集中力（8 ）MF oB sM点的沉陷：M点相对B点的沉陷：本节中的解答被称为符拉芒（Alfred-Aim Flamant（1839 1914-

16、1918），法国）解答。半面体在边界上受分布力（1）BMoAxyxyab半面体在边界上受分布力作用时 的应力和沉陷是由上节中半面体 在边界上受集中力作用时的应力 和沉陷的叠加而得到的。取距离o点 的微小长度 做研究， 其微小集中力 在M点引起的应力为：半面体在边界上受分布力（2）BMoAxyxyab半面体在边界上受分布力（3）BMoAxyxyab对于均布载荷q：半面体在边界上受分布力（4）设I点周围有均布的分布力1/c。 B为基点，K为需计算的点，由 上节的公式，微小长度dr上的力 使K点相对于B点的沉陷为：BxKIs若K点在均布力之外，并取基点B远离均布力， 即认为s为常数，则K点相对于B点的沉陷为：半面体在边界上受分布力（5）BxKIs其中 ：若K点与I点重合，则Fki=0，而C不变。