3.1平行四边形证明回顾与思考

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1、九年级数学(上)第三章 证明(三)1.平行四边形(1) 证明(一),(二)回顾与思考直观是把“双刃剑”w直观是重要的,但它有时也会骗人,你还能找到 这样的例子吗?回顾与思考1 1a bw要判断一个数学结论是否正确,仅仅 依靠经验,观察,或实验是不够的,必需 一步一步,有根有据地进行推理.w每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部 分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项. w一般地,命题可以写成“如果,那么”的形式,其 中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结 论. w正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命 题称为

2、假命题(false statement). w要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之 具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例 (counter example).“原名” 知多少w定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也 就是给出它们的定义(definition) . w命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).回顾与思考2 2w原名:某些数学名词称为原名.w公理:公认的真命题称为公理(axiom).w证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.w定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).w推论:

3、w由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个 公理或定理的推论(corollary). w推论可以当作定理使用. “原名” 知多少回顾与思考3 3w公理:公认的真命题称为公理(axiom). w证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过 推理的方法证实.推理的过程称为证明. w定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).w本套教材选用如下命题作为公理 : w1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等, 那么这两条直线平行; w2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; w3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; w4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; w5.三边对应相等的两个三角形全

4、等; w6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.“原名” 知多少回顾与思考4 4平行线的判定w公理: w同位角相等,两直线平行. w 1=2, ab.w判定定理1: w内错角相等,两直线平行. w 1=2, ab.w判定定理2: w同旁内角互补,两直线平行 . w 1+2=1800 , ab. abc21abc12abc12w这里的结论,以后可以直接运用. 回顾与思考5 5平行线的性质w公理: w两直线平行,同位角相等. w ab, 1=2.w性质定理1: w两直线平行,内错角相等. w ab, 1=2.w性质定理2: w 两直线平行,同旁内角互补. w ab, 1+2=1800 . abc2

5、1abc12abc12w这里的结论,以后可以直接运用. 回顾与思考6 6三角形内角和定理w三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 1800. ABC中,A+B+C=1800.wA+B+C=1800的几种变形: wA=1800 (B+C). wB=1800 (A+C). wC=1800 (A+B). wA+B=1800-C. wB+C=1800-A. wA+C=1800-B.w这里的结论,以后可以直接运用. 回顾与思考7 7ABC三角形的外角w三角形内角和定理的推论: w推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和. w推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角. w

6、推论3: 直角三角形的两锐角互余.wABC中: w1=2+3; w12,13.ABCD1234w这个结论以后可以直接运用.回顾与思考8 8驶向胜利 的彼岸学好几何标志 是会“证明”w证明命题的一般步骤:w(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证 );w(2)根据题意,画出图形;w(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;w(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果 ”,执“果”索“因”.);w(5)依据思路,运用数学符号和数学语 言条理清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确,完善.回顾与思考9 9等腰三角形性质w定理: 等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角).w

7、如图,在ABC中, AB=AC(已知), B=C(等角对等边).回顾与思考1010ACB等腰三角形性质w 推论: w 等腰三角形顶角的平分线,底 边上的中线,底边上的高互相 重合(三线合一).回顾与思考1111ACBD12w 如图,在ABC中, AB=AC, 1=2(已知). BD=CD,ADBC（三线合一）. w 如图,在ABC中, AB=AC, BD=CD (已知). 1=2,ADBC（三线合一）. w 如图,在ABC中, AB=AC, ADBC(已知). BD=CD, 1=2 （三线合一）w轮换条件1=2, BD=CD,ADBC可得三 线合一的三种不同形 式的运用.等腰三角形性质w 等边

8、三角形的三个角都相等并且每个角都等于 600.回顾与思考1212w 如图,在ABC中, AB=AC=BC(已知).A=B=C=600（等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600）.ACB等腰三角形性质w 等腰三角形两底角的平分线相等.w 等腰三角形两腰上的中线相等.w 等腰三角形两腰上的高相等.回顾与思考1313ACBD 1E 2等腰三角形的判定w 定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等 边）.回顾与思考1414w 在ABC中 BC（已知）， AB=AC（等角对等边）.ACB反证法w 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推 导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛 盾的结果，

9、从而证明命题的结论一定成立.这种 证明方法称为反证法(reduction to absurdity)回顾与思考1515w 用反证法证明的一般步骤: w 1.假设:先假设命题的结论不成立; w 2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方 法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件 相矛盾的结果; w 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而 肯定命题的结论正确. w 反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某 些问题时常常会有出人意料的作用.等边三角形的判定w 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.回顾与思考1616w 在ABC中, AB=AC,B=600(已知). ABC是等边三角形(

10、有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).ACB600等边三角形的判定w 定理:三个角都相等的三角形是等边三角 形.回顾与思考1717w 在ABC中, A=B=C(已知), ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形 是等边三角形).ACB600600600w 在ABC中, ACB=900,A=300. BC= AB.(在直角三角形中, 300角所对的直角 边等于斜边的一半).特殊的直角三角形 的性质 w 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等 于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.回顾与思考1818ABC300特殊的直角三角形 的性质w 定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等 于斜

11、边的一半,那么它所对的锐角等于300.回顾与思考1919w 在ABC中 ACB=900,BC=AB/2(已知), A=300(在直角三角形中,如果一条直角边等 于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).ABC300勾股定理w 定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边 为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理（pythagoras theorem）.回顾与思考2020w 在ABC中 ACB=900(已知), a2+b2=c2(直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方).acb勾弦股勾股定理的逆定理w 定理l如果

12、三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.回顾与思考2121l在ABC中lAC2+BC2=AB2(已知),lABC是直角三角形(如果三角形两边的平 方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角 三角形).acbABC(1)命题与逆命题 定理与逆定理w 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分 别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命 题的逆命题.回顾与思考2222w如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那 么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.直角三角形全等 的判定定理l定理:斜边和一条直角边对应相

13、等的两个直角 三角形全等(斜边,直角边或HL).回顾与思考2323w如图,在ABC和ABC中, C=C=900 , w AC=AC , AB=AB(已知), w RtABCRtABC(HL).ABCABC直角三角形全等的判定 方法 直角三角形全等的判定方法:l定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等(斜边,直角边或HL). w 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. w 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） . w 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） . w 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等（AAS）. 综上所述,直角三

14、角形全等的判定条件可归纳为: w 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; w 两边对应相等的两个直角三角形全等; w切记!命题:两边及其中一边的对角对应 相等的两个三角形不一定全等. w即(SSA)是一个假冒产品 !回顾与思考2424线段垂直平分线 性质w定理 线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点距离相等.回顾与思考2525w如图, w AC=BC,MNAB,P是MN上任意一点(已知), w PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点距离相等).ACBPMN线段垂直平分线的性 质w逆定理 到一条线段两个端点 距离相等的点,在这条线段的 垂直平分线上.回顾与思考2626w如图

15、, w PA=PB(已知), w 点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个 端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线 上).ACBPMN三角形的外心w定理:三角形三条边的垂直平分线 相交于一点,并且这一点到三个顶 点的距离相等.回顾与思考2727w如图,在ABC中, c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知), c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条 边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三 个顶点的距离相等).ABCPabc角平分线的性质w定理 角平分线上的点到这个角的两边距离 相等.回顾与思考2828w如图, w OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点 ,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知) PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离 相等).OCB1A2PDE角平分线的性质w逆定理 在一个角的内部,且到 角的两边距离相等的点,在这 个角的平分线上.回顾与思考2929w如图, w PA=PB, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已 知), w 点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分 线上).OCB1A2PDE三角形的内心w定理:三角形的三条角平分 线相交于一点,并且这一点 到三边的距离相等.回顾与思考3030w如图,在ABC中, BM,CN,AH分别是A