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1、空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题数学专题二专题提纲专题提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称 为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由 A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向 向量是 zxyAB2.平面的法向量v如果表示向量n的有向线段所在
2、的直线垂直于 平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这 时向量n叫做平面的法向量. nv在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐 标呢? 如图2,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2) 是平面内的两个不共线的非零向量,由直线 与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则 n.换句话说,若na = 0且nb = 0,则n . a bn求平面的法向量的坐标的步骤v第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).v第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组v第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.v第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平
3、面法向量n的坐标. v例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. A AABCDOA1B1C1D1zxy解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设 平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则 O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2） 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得 ，解得 取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).二.立体几何问题的类型及解法v1.判定直线、平面间的位置关系v(1)直线与直线的位置关系v 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b.若ab,即
4、a=b,则ab.若ab,即ab = 0,则abababv例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=, 求证: C C1BDA1B1C1D1CBADv证明：设 a, b, c,v依题意有| a |=| b |，v于是 a bv = c (a b)= ca cbv = |c|a|cos|c|b| cos=0v C C1BDv(2)直线与平面的位置关系v 直线L的方向向量为a,平面的法向量为n, 且L . v若an,即a =n,则 L v若an,即an = 0,则a . nanaLLv例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,vD,E分别是
5、AC,CC1的中点,求证:v(I)A1E 平面DBC1;v(II)AB1 平面DBC1A1C1B1ACBE Dzx yv解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.则vA(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2).v设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则v 解之得 ，v取z = 1得n=(-2,0,1)v(I) =- n,从而A1E 平面DBC1v(II) ,而 n =-2+0+2=0vAB1 平面DBC1v(3)平面与平面的位置关系v平面的法向量为n1 ,平面的法向量为n2v
6、n1v n1 n2v n2v若n1n2,即n1=n2,则v若n1n2,即n1 n2= 0,则v例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别 是BB1、CD的中点,求证:面AED面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1v 证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标 系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则 E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),v于是v设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得v 解之得 v取z=2得n1=(-1,0,2)v同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)vn1 n2 = -2+0+2=0v面AED面A1FD2.求
7、空间中的角v(1)两异面直线的夹角v利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再 把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的 方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹 角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.v例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是 AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦 值为_. BCAMxzyB1C1D1A1CDv解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则vM(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0),v于是, vcos=.v(2)直线与与平面所成的角v若n是平面的法向量, a是直线L的方
8、向向量, 则L与所成的角= -或= - ( 下图) .v n a av v v v于是,v因此nv例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高 为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zx yC1A1B1ACBOv解:建立如图示的直角坐标系,则vA( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0, )v设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)v由 得 v ，解得 ，v取y= ,得n=(3, ,0)v而vvv（3）二面角v设n1 、n2分别是二面角两个半平面、的 法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大 小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖 坐标z同号时相等）
9、或互补（选取法向量竖坐 标z异号时互补），于是求二面角的大小可转 化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免 了二面角的平面角的作图麻烦.n1n1n2n2v例7在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧 棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二 面角A-SD-C的大小.BCzxy ABCDS解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1 ，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0 ，0，1）. v设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由v 得v n1=(1,1,2). v而面SAD的法向量n2 = (1,0,0).v于是二面角A-SD-C的大小满足v v二
10、面角A-SD-C的大小为 .3.求解空间中的距离v(1)异面直线间的距离v两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用 向量的正射影性质直接计算.v如图,设两条异面直线a、b的公 垂线的方向向量为n, 这时分别在 a、b上任取A、B两点,则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线 a、b的距离.v v即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值.n abABv例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求异面直线AC1与BD间的距离. zxyABCDD1C1B1A1v解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
11、则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面 直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z), 则由 ,得v n=(-1,-1,2). v v ,v异面直线AC1与BD间的距离v(2)点到平面的距离vA为平面外一点(如图), n为平面的法向量,过A作 平面的斜线AB及垂线AH.v v =v = . v于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和 平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模 的比值.nABH v例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90,v求B1到面A1BC的距离.zxyCC1A1B1ABv解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 设面A1BC的 法向量n=(x,y,z),由 得v n=(- ,0,1). v v , vv或 ,vv或 ,vv可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无 关. v会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平 面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.v例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4,
