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1、二. 相似矩阵的定义及性质定义: 设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，对 进行运算 称为对 进行相似变换，可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。或称矩阵 与矩阵 相似，记作注：矩阵相似是一种等价关系 （1）反身性：（2）对称性：若 则 （3）传递性：若 则 1性质1: 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩推论：若矩阵 与对角阵 相似，则 是 的 个特征值。2(1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。其它的有关相似矩阵的性质：(3)若 与 相似，则 与 相似。（ 为正整数）(5)(6
2、)（ 为任意常数）(2)若 与 相似，则 与 相似。（ 为正整数）(4)若 与 相似，而 是一个多项式，则 与 相似。3（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。注： （1）与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE 相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。三. 矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）对 阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵 ，使得 为对角阵，就称为把方阵 对角化。4定理1： 阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）有 个线性无关的特征向量。（2）可逆矩阵 由 的 个线性无关的特征向量作列向量构成。(逆命题不成立)推论：若 阶方阵 有 个互不相同的特征值,则 可对角化。（与对角
3、阵相似）注：（1）若 则 的主对角元素即为 的特征值，矩阵 的相似标准形。如果不计 的排列顺序，则 唯一，称之为5例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？解:得6得基础解系当 时，齐次线性方程组为当 时，齐次线性方程组为7得基础解系线性无关即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。8得基础解系所以 不能化为对角矩阵.当 时，齐次线性方程组为9解：例2：设若能对角化，求出可逆矩阵 使得 为对角阵。问 能否对角化？10得基础解系当 时，齐次线性方程组为当 时，齐次线性方程组为11得基础解系线性无关， 可以对角化。令则有12注意：若令即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的 位置要相互对应则有13把
4、一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且 在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1. 由特征值、特征向量反求矩阵例3：已知方阵 的特征值是相应的特征向量是求矩阵14解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。即存在可逆矩阵 , 使得其中求得15162. 求方阵的幂例4：设 求解：可以对角化。齐次线性方程组为当 时，系数矩阵令 得基础解系:17齐次线性方程组为当 时，系数矩阵令 得基础解系:令求得即存在可逆矩阵 , 使得18193. 求行列式例5：设 是 阶方阵， 是 的 个特征值，计算解：方法1 求 的全部特征
5、值，再求乘积即为行列式的值。设的特征值是即的特征值是20方法2：已知 有 个不同的特征值，所以 可以对角化，即存在可逆矩阵 , 使得214. 判断矩阵是否相似解：方法1的特征值为令3阶矩阵 有3个不同的特征值，所以 可以对角化。例6：已知3阶矩阵 的特征值为1，2，3，设问矩阵 能否与对角阵相似？22即存在可逆矩阵 , 使得方法2：因为矩阵 有3个不同的特征值，所以可以对角化，所以矩阵 能与对角阵相似。23例7：设 阶方阵 有 个互异的特征值，阶方阵 与 有相同的特征值。证明：与 相似。证：设 的n个互异的特征值为则存在可逆矩阵 , 使得24又也是矩阵 的特征值，所以存在可逆矩阵 , 使得即即存在可逆矩阵 ,使得即 与 相似。 25
