统计培训教材概率与概率分布

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1、概率分布-1概率与概率分布在对随机现象的研究和各种决策中,常需用样本(数据)提供的信息去推断总体的数量规律性,即作出有关总体的某种结论.推断统计学是建立在概率与概率分布基础的理论基础上的统计方法,因而有必要了其有关知识概率分布-2一、概率基础-随机实验，样本空间，随机事件-概率：古典概率，几何概率，公理化定义-条件概率-随机变量-常用随机变量的分布：二项、泊松、均匀、指数、正态-数学期望、方差概率分布-3在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。对随机现象进行观察和试验称为随机试验。在随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件(A、B)。在随机试验中所有可能出现的结果组成的集

2、合称为样本空间(S)。集合表示：例：抛一枚均匀骰子。事件A表示“大”即“4、5、6点”，如果结果出现5点，则事件A发生了。1、 随机实验，样本空间，随机事件概率分布-42、事件的关系与运算事件的关系表示含义加（并）表示事件A与B至少有一个发生AB或A+B减（差）表示事件A发生而事件B不发生A-B乘（交）表示事件A与B两个都发生AB 或 AB对立（逆）表示A的对立事件，即“A不发生” （AA=，A+A=S）包含与相等表示事件A发生必要导致事件B发 生BA或AB A=B互不相容 (互斥)表示事件A与事件B不能同时发 生 （即AB=）SABABSSSAAA-BBABB=ASSSABBA-B概率分布-

3、5例抛一骰子。A表示“偶数点”，B表示“4，5，6”，则事件A与B至少有一个发生为事件A与B都发生事件A发生而B不发生事件A与B都不发生概率分布-6事件的运算法则 交换律: AB=BA AB=BA结合律: A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C 分配律: A(BC)=ABAC A(BC)=(AB)(AC) 对偶律:集合的运算法则都适用,常用的有概率分布-73、 概率的定义 物理学家吴大猷：误用概率的笑话一个病人去看病，医生检查后告诉病人说他要动手术。病人问这种手术死亡率高不高，医生说这种 手术100个人有50个要死的。稍后医生又安慰病人说，到今天已经有50人死去了，所以你不用害怕。概率分

4、布-8估计概率方法一）概率的古典定义 1、定义：古典方法是在经验事实的基础上对被考察事件发生可能性进行符合逻辑的分析后得出该事件的概 率.如果试验E满足 (1) 它的结果只有有限种. (2) 且每种结果发生的可能性相同. (3)假如被考察事件A含有k个结果,总体事件含有n个 结果。则事件A发生的概率为：P(A)=k/n概率分布-92、古典概率模型中事件的概率求法试验A的结果只有有限种,即样本点是有限个: 1,2 ,n , =12 n i,i=1,2,n是基本事件，而他们发生的概率都相等，这样1=P()=P(12 n) =P(1)+P(2 )+P(n) = n P(i), i=1,2,n P(i

5、)= 1/n i=1,2,因此若事件A包含k个基本事件，于是 P(A)=k(1/n)=k/n概率分布-103、 古典概率模型的例子例1掷一颗均匀骰子. 设: A表示所掷结果为“四点或五点”. B表示所掷结果为“偶数点”. 求: P(A)和P(B)解:n=6，kA=2 P(A)=2/6=1/3 kB=3 P(B)=3/6=1/2概率分布-11例2货架上有外观相同的商品15件,其中12件来自产地甲,3件来自地乙 .现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产地的概率 .解:从15件商品中取出2商品,共有 =105 种取法,且每种取法都是 等可能的.n=105令A=两件商品都来自产地甲 k

6、A= =66 令B=两件商品都来自产地乙 kB= =3 而事件两件商品来自同一产地=AB ,且A与B互斥。它包含基本事件数=66+3=69所求概率=69/105=23/35概率分布-12例3： 有外观相同的三极管6只,按其电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类.按下列两种方案抽取三极管两只, （1） 每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取下一 只(放回抽样).（2）每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下的三 极管中再抽取下一只(不放回抽样) 设A=抽到两只甲类三极管,B=抽到两只同类三极管,C=至少抽到一只甲类三极管,D=抽到两只不同类三极管. 求：P(A),P(B),P(C),P(D)概率

7、分布-13解:（1）由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽 取. 第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法. 第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能的取法. 取两只三极管共有66=36种可能的取法.注意:这种分析方法使用的是中学学过的 乘法原理概率分布-14即n=36且每个基本事件发生的可能性相同. 第一次取一只甲类三极管共有4种可能的取法,第二次再 取一只甲类三极管还是有4种可能的取法. 取两只甲类三极管共有44=16种可能的取法, 即： kA=16 P(A)=16/36=4/9 令E=抽到两只乙类三极管,kE=22=4 P(E)=4/36=1/9 而C是E的对立事件， P(C

8、)=1-P(E)=8/9； B= AE ,且A与E互斥，P(B)=P(A)+P(E)=5/9； D是B的对立事件,P(D)=1-P(B)=4/9概率分布-15（2） 由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从6只中取一 只,共有6种可能的取法,第二次是从剩余的5只中取一只, 有5种可能的取法.由乘法原理取两只三极管共有 n=65=30种可能的取法.再由乘法原理: kA=43=12 P(A)=12/30=2/5 kE=21=2 P(E)=2/30=1/15 C是E的对立事件, P(C)=1-P(E)=14/15 B= AE ,且A与E互斥 P(B)=P(A)+P(E)=7/15 D是B的对立事件,

9、P(D)=1-P(B)=8/15概率分布-16例4：设N件产品中有K件是次品,N-K件是正品, KProbability DistributionsBinomial function (n=10, p=0.16)概率分布-34近视人数 概率 10.333145 20.285553 30.145043 40.048348 50.011051 60.001754 70.000191 80.000014 90.000001 100.000000概率分布-35l超几何分布（Hypergeometric）N个元素分成两类，有N1 个属于第一类，有N2 个属于第二 类。从中不重复抽取 n 个，令 X 表示

10、这 n 个元素中属 于第一类的个数，则 X 的分布称为超几何分布。概率分布-36l泊松分布（Poisson）泊松是十九世纪法国著名数学家，是“一个熟谙在行事处世方面不失高贵风度的人”。泊松分布最初只是作为二项分布的近似来使用，后来逐渐成为一种重要的概率模型，被誉为随机现象的“基本粒子”。观察如下现象：-单位时间内走进候车室的人数-单位时间内打进的电话数-某段时间内机场降落的飞机数-单位时间内细胞分裂的个数-某段时间内发生车祸的次数-每个产品发现的疵瑕数概率分布-37(x = 0, 1, 2 ., 400,0.02) (80/0!)e-8 =0.0003355概率分布-41分布近似分布条件超几何

11、分布二项式分布10n总体数量二项式分布泊松分布n 20且p 0.05； 或n 100，只要np 10二项式分布 N=样本大小p是比例正态分布 （即失效部件的比率）Np和n（1-p）小于5分布的近似概率分布-42连续型随机变量均匀分布(Uniform Distribution)正态分布(Normal Distribution)指数分布(Exponential Distribution）概率分布-43连续型随机变量：密度函数概率分布-44 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布的概率密度函数是abxf(x)1/(b-a)00， 其他例题：设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在9

12、00-1100欧姆之间。求R的概率密度及落在950-1050欧姆之间的概率。概率分布-45 正态分布（Normal Distribution）概率分布-46总体均值 总体方差如果 = 0, 2 = 1 ，则称为标准正态分布 ，常记为 Z。设 X 服从参数为 , 2 的正态分布，则它可通过如下变换化为标准正态分布 概率密度分布函数数学期望方差正态的标准化概率分布-47特性概率分布-48(1) 利用标准正态分布表求如下概率：(a) P(Z 1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056(b) P(Z 1.25) 或 P(Z 74)概率分布-49正态概率图（Normal Probabilit

13、y Plots）正态概率图可用于检验数据是否为正态分布 如果正态概率图近似于一条直线，则可认为是正态分布。正态概率图可由 Minitab 容易地得到： 打开数据文件 Distskew.mtw 选择: Graph Probability Plot (或) Stat Basic Stats Normality Test 概率分布-50概率分布-51随机服务系统的服务时间，消耗性产品（如电子元件）的寿命等，都通常假定为指数分布。假设产品的失效率为，则参数为的指数分布的密度函数为指数分布的均值为 1/ ，方差为1/2产品在 t 时间失效的分布函数为产品的可靠度为指数分布（Exponential Dis

14、tribution）当x0 = 0 当x0概率分布-52例 某元件的寿命服从指数分布，其平均寿命为1000小时 。 问3个这样的元件使用1000小时后都没有损坏的概 率是多少？解：一个元件使用1000小时都不坏的概率3个这样的元件使用1000小时后都没有损坏的概率是概率分布-53分布或流 程应用举例正态分布可以用于描述不同的 物理、机械、电气和 化学属性零件尺寸、电压 输出、化学成分 水平 二项式分 布可以用于描述观测值 是通过或失效的情况零件满足或不满 足规范标准的采 样方案 超几何分 布与二项式分布一样； 但是样本大小相对总 体来说比较大从数量为100的 总体中抽50个样 本的二项式采用 方案指数分布用于描述使用的函数 的系统的恒定的失效 率MTBF或系统的 恒定失效率泊松分布在设计指数分布的试 验时方便使用的分布确定是否满足 MTBF失效标准常用分布的应用