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1、第三节 边缘分布与随机变量的独立性 一、边缘分布一、边缘分布二维随机向量(X,Y)作为一个整体, 具有联合 分布函数F(x,y), 而分量X和Y都是一维随机 变量, 它们各有其分布, 分别记为 FX(x) 和 FY(y), 依次称为向量 (X,Y) 关于分量X和Y 的边缘分布函数. 本节主要讨论二维离散型 随机向量 (X,Y)分别关于X和Y的边缘分布律 和二维连续型随机向量 (X,Y)分别关于X和Y 的边缘概率密度函数.边缘分布函数完全由联合分布函数确定. 解例11. 离散型变量的边缘分布律 定义定义例2 令随机变量X表示在1,2,3,4中等可能地取一个 值, 令随机变量Y表示在1至 X中等可
2、能地取一个值. 求(X,Y) 的联合分布律和X与Y的边缘分布律.解 P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=(1/4)(1/i),(ij), 于是(X,Y)的联合分布律和X与Y的边缘分布律为:例3 把3个白球和3个红球等可能地放入甲乙三个 盒子中. 记落入甲盒子的白球个数为X, 落入乙号 盒子的红球个数为Y. 求(X,Y)的分布律和关于X 和Y的边缘分布律.解 显然有又因为事件(X=i)与事件(Y=j)相互独立,所以有用表格可如下表示2. 连续型变量的边缘密度函数 边缘密度函数完全由联合密度函数所决定. 设连续型二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y), 则从而得到X
3、和Y的概率密度函数分别为解 X的密度函数 fX(x) 为Y的密度函数 fY(y) 为例5 设随机变量X和Y具有联合概率密度求边缘概率密度fX(x)和fY(y).解解 (X,Y)的联合密度函数 则(X,Y)关于X的边缘密度函数(X,Y)关于Y的边缘密度函数 (1) (X,Y)关于X的边缘密度函数 例7 (2) (X,Y)关于Y的边缘密度函数 例7 注意 两个正态变量X,Y，构成正态向量(X,Y),有多种 方法，不同的参数对应不同的正态向量(X,Y).二、随机变量的独立性 随机变量相互独立是概率论中非常重要的 概念,它是随机事件相互独立的推广.本节主要 讨论两个随机变量相互独立的一般性定义, 然
4、后对两个离散型随机变量和两个连续型随机变 量相互独立进行不同的处理.一般结论:X与Y相互独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y), 即 (X,Y)的联合分布函数 F(x,y)等于x的函数与y的函数的乘积. 即 F(x,y)=G(x)H(y) G和H不一定是分布函数.定义3.1 设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数和 边缘分布函数分别为F(x,y),FX(x)和FY(y). 如果对 任意的x,y有F(x,y)=FX(x)FY(y)(联合分布函数等于边缘分布函数的乘积)则称随机变量X和Y相互独立.定理 设二维离散性随机变量 (X,Y) 的联合分布律 和边缘分布律分别为pij ,(
5、i,j=1,2,)和pi. ,(i=1,2,)、 p.j, (j=1,2,),则X与Y相互独立的充分必要条件是对 (X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有即(联合分布律等于边缘分布律的乘积).定理 设二维连续型随机变量(X,Y) 的联合密度函 数f(x,y)和边缘密度函数分别为fX(x)和fY(y) , 则X 与Y相互独立的充分必要条件是对任意的x,y,有 (联合密度函数等于边缘密度函数的乘积)一般的结论设二维连续性随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y), 则X与Y相互独立的充分必要条件是对任意的x,y,有即联合密度函数f(x,y)等于x的函数与y的函数的乘积.其中g和h不一定是分布
6、函数.证明 (X,Y)的可能取值为 (0,0),(0,1), (1,0), (1,1), 则 (X,Y) 的联合分布律和边 缘分布律如右表所示.例8 袋中有2个黑球3个白球,从袋中随机取两次,每 次取一个球,取后不放回.令证明X与Y不相互独立.例9 设随机向量(X,Y)的概率密度函数为试证X和Y相互独立.证明于是有 f(x,y)= fX(x) fY(y) 所以X和Y相互独立.解 (1)X与Y的密度函数分别为 因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合密度函数例10 设X服从参数为=1的指数分布,YU(0,1),且 X与Y相互独立. (1)写出(X,Y)的联合密度函数f(x,y); (2)求P(X
7、+Y1).解 (2)因为 所以例10 设X服从参数为=1的指数分布,YU(0,1),且 X与Y相互独立. (1)写出(X,Y)的联合密度函数f(x,y); (2)求P(X+Y1).证 关于X与Y的边缘密度函数分别为 则则X与Y相互独立的充分必要条件是即例12 设X与Y相互独立的充分必要条件是 , 证明定义定义定理上述定义和定理只做简单介绍三、 条件分布条件分布是条件概率的推广. 本节主要讨论关于二维离散型随机变量的条件分布律和关 于二维连续型随机变量的条件密度函数. 1. 条件分布律解 (X,Y)关于X和Y的边缘分布律如表所示:则在X=3的条件下Y的条件分布律其中如同理在Y=1的条件下X的条件分布律2. 条件密度函数 解 (X,Y)关于X和Y的边缘密度函数分别为(1) 在X=0.5的条件下Y的条件密度函数(2) 在Y=y (-1y1) 的条件下X的条件密度函数3. 条件分布函数
