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1、热点突破高考导导航 1.立体几何是高考的重要内容，每年基本上都是一个解答题题，两个选择题选择题 或填空题题小题题主要考查查学生的空间观间观念，空间间想象能力及简单计简单计 算能力解答题题主要采用“论证论证 与计计算”相结结合的模式，即首先是利用定义义、定理、公理等证证明空间间的线线线线 、线线面、面面平行或垂直，再利用空间间向量进进行空间间角的计计算重在考查查学生的逻辑逻辑 推理能力及计计算能力热热点题题型主要有平面图图形的翻折、探索性的存在问题问题 等；2.思想方法：(1)转转化与化归归(空间问题转间问题转 化为为平面问题问题 )；(2)数形结结合(根据空间间位置关系利用向量转转化为为代数运
2、算)热点突破热热点一 求解空间间几何体的表面积积和体积积对对于空间间几何体的表面积积与体积积，高考考查查的形式已经经由原来的简单简单 套用公式渐变为渐变为 三视图视图 与柱、锥锥、球的接、切问题问题 相结结合，特别别地，已知空间间几何体的三视图视图 求其表面积积、体积积已成为为近两年高考考查查的热热点而求解棱锥锥的体积时积时 ，等体积转积转 化是常用的方法，转转化原则则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上求不规则规则 几何体的体积积，常用分割或补补形的思想，将不规则规则 几何体转转化为规为规则则几何体以便于求解热点突破【例1】 (2014重庆庆卷)某几何体的三视图视图 如图图所示，则该则该
3、几何体的体积为积为 ( )A12 B18 C24 D30热点突破解析 由俯视图视图 可以判断该该几何体的底面为为直角三角形，由正视图视图 和侧视图侧视图 可以判断该该几何体是由直三棱柱(侧侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的，即直三棱柱ABCA1B1C1截掉一个三棱锥锥DA1B1C1得到的(如图图)，审题审题 流程一审审：三视图视图 ，根据三视图视图 的规则还规则还 原几何体二审审：所求几何体的构成(由一个直三棱柱截掉一个三棱锥锥)三审审：体积积的计计算 热点突破答案 C热点突破探究提高 组组合体的表面积积与体积积的求解是高考考查查的重点，解决此类问题类问题 可通过过分割或补补形将组组合体变为变为
4、规则规则 的柱体、锥锥体、球等几何体的表面积积和体积问题积问题 ，然后根据几何体表面积积与体积积的构成用它们们的和或差来表示在求解过过程中应应注意两个问题问题 ，一是注意表面积积与侧侧面积积的区别别，二是注意几何体重叠部分的表面积积、挖空部分的体积积的计计算热点突破【训练训练 1】 (1)一个半径为为2的球体经过经过 切割之后所得几何体的三视图视图 如图图所示，则该则该 几何体的表面积为积为 _第(1)题图题图 第(2)题图题图热点突破(2)如图图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为长为 1，E为线为线段B1C上的一点，则则三棱锥锥ADED1的体积为积为_热点突破热热点二 空间间点、线线、
5、面位置关系高考对该对该 部分的考查查重点是空间间的平行关系和垂直关系的证证明，一般以解答题题的形式出现现，试题难试题难 度中等，重在考查查学生的空间间想象能力和逻辑逻辑 推理能力，在试试卷中也可能以选择题选择题 或者填空题题的方式考查查空间间位置关系的基本定理在判断线线面位置关系中的应应用热点突破【例2】 (2014北京卷)如图图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别别是A1C1，BC的中点(1)求证证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥锥EABC的体积积(1)证证明 在三棱柱ABCA1B1C1中，B
6、B1底面ABC.所以BB1AB.又因为为ABBC，所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.热点突破图图1 图图2热点突破(2)证证明 法一 如图图1，取AB中点G，连连接EG，FG.因为为E，F分别别是A1C1，BC的中点，因为为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1.所以四边边形FGEC1为为平行四边边形所以C1FEG.又因为为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.热点突破法二 如图图2，取AC的中点H，连连接C1H，FH.因为为H，F分别别是AC，BC的中点，所以HFAB，又因为为E，H分别别是A1C1，AC的中点，所以EC1綉AH，
7、所以四边边形EAHC1为为平行四边边形，所以C1HAE，又C1HHFH，AEABA，所以平面ABE平面C1HF，又C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE.热点突破(3)解 因为为AA1AC2，BC1，ABBC，热点突破探究提高 (1)证线证线 面平行的方法：利用判定定理，关键键是找平面内与已知直线线平行的直线线可先直观观判断平面内是否已有，若没有，则则需作出该该直线线，常考虑虑三角形的中位线线、平行四边边形的对边对边 或过过已知直线线作一平面找其交线线若要借助于面面平行来证证明线线面平行，则则先要确定一个平面经过该经过该 直线线且与已知平面平行，此目标标平面的寻寻找方法是经过线经过线 段的端
8、点作该该平面的平行线线(2)证证明两个平面垂直，通常是通过证过证 明线线线线 垂直线线面垂直面面垂直来实现实现 ，因此，在关于垂直问题问题 的论证论证 中要注意线线线线 垂直、线线面垂直、面面垂直的相互转转化热点突破【训练训练 2】 如图图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证证明：AA1BD；(2)证证明：CC1平面A1BD.证证明 (1)法一 因为为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以D1DBD.又因为为AB2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理得热点突破BD2AD2AB22ADABc
9、os 603AD2，所以AD2BD2AB2，因此ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.法二 因为为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDD1D. 如图图，取AB的中点G，连连接DG，在ABD中，由AB2AD得AGAD.又BAD60，所以ADG为为等边边三角形，因此GDGB，故DBGGDB.热点突破又AGD60，所以GDB30，故ADBADGGDB603090，所以BDAD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A.又AA1平面ADD1A，故AA1BD.(2)如图图，连连接AC，A1C1，设设ACBDE，连连接EA1，热点突破由棱台定
10、义义及AB2AD2A1B1知A1C1EC且A1C1EC，所以四边边形A1ECC1为为平行四边边形，因此CC1EA.又EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.热点突破热热点三 平面图图形的翻折问题问题(1)此类问题类问题 通常是把平面图图形折叠成空间间几何体，并以此为载为载 体考查线线查线线 、线线面、面面的位置关系及有关计计算(2)试题试题 以解答题为题为 主，考查查学生的空间间想象能力和知识识迁移能力热点突破【例3】 (2015湖北八市联联考)如图图1，ABC是边长为边长为 6的等边边三角形，E，D分别为别为 AB，AC靠近B，C的三等分点，点G为为BC边边的中点，线
11、线段AG交线线段ED于F点，将AED沿ED翻折，使平面AED平面BCDE，连连接AB，AC，AG形成如图图2所示的几何体热点突破(1)求证证：BC平面AFG；(2)求二面角 BAED的余弦值值(1)证证明 在图图1中，由ABC是等边边三角形，E，D分别别为为AB，AC的三等分点，点G为为BC边边的中点，易知DEAF，DEGF，DEBC.在图图2中，因为为DEAF，DEGF，AFFGF，所以DE平面AFG.又DEBC，所以BC平面AFG.热点突破(2)解 因为为平面AED平面BCDE，平面AED平面BCDEDE，DEAF，DEGF，所以FA，FD，FG两两垂直以点F为为坐标标原点，分别别以FG，
12、FD，FA所在的直线为线为 x，y，z轴轴，建立如图图所示的空间间直角坐标标系Fxyz.则则热点突破设设平面ABE的法向量为为n(x，y，z)，热点突破探究提高 平面图图形的翻折问题问题 ，关键键是搞清翻折前后图图形中线线面位置关系和度量关系的变变化情况，一般地翻折后还还在同一个平面上的性质质不发发生变变化，不在同一个平面上的性质发质发 生变变化热点突破【训练训练 3】 (2015福州质检质检 )如图图，直角梯形ABCD中，ABC90，ABBC2AD4，点E，F分别别是AB，CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF.(1)当AGGC最小时时，求证证：BDC
13、G；(2)当2VBADGEVDGBCF时时，求二面角DBGC的平面角的余弦值值热点突破(1)证证明 点E、F分别别是AB、CD的中点EFBC，又ABC90，AEEF，平面AEFD平面EBCF.AE平面EBCF，AEEF，AEBE，又BEEF，如图图建立空间间直角坐标标系Exyz.热点突破(2)解 设设EGk.AD平面EFCB，点D到平面EFCB的距离即为为点A到平面EFCB的距离热点突破热点突破热点突破法二 过过点D作DHEF，垂足为为H，过过点H作BG延长线长线 的垂线线HO，垂足为为O，连连接OD.平面AEFD平面EBCF，DH平面EBCF，ODOB，DOH就是所求的二面角DBGC的平面角
14、热点突破热热点四 立体几何中的探索性问题问题立体几何中的探索性问题问题 主要是对对平行、垂直关系的探究，对对条件和结论结论 不完备备的开放性问题问题 的探究，解决这类问题这类问题 一般根据探索性问题问题 的设问设问 ，假设设其存在并探索出结论结论 ，然后在这这个假设设下进进行推理论证论证 ，若得到合乎情理的结论结论 就肯定假设设，若得到矛盾就否定假设设热点突破(1)求直线线PB与平面POC所成角的余弦值值；(2)求B点到平面PCD的距离；热点突破解 (1)在PAD中，PAPD，O为为AD中点，所以POAD，又侧侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面AB
15、CD.又在直角梯形ABCD中，连连接OC，易得OCAD，所以以O为为坐标标原点，直线线OC为为x轴轴，直线线OD为为y轴轴，直线线OP为为z轴轴建立空间间直角坐标标系，则则P(0，0，1)，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，热点突破热点突破审题审题 流程一审审：假设设存在二审审：引入参数，并用表示相关点及向量坐标标三审审：根据结论结论 二面角余弦值为值为 ，建立的方程四审审：解“”，并根据是否存在下结论结论 热点突破热点突破探究提高 对对于探索性问题问题 用向量法比较较容易入手一般先假设设存在，设设出空间间点的坐标标，转转化为为代数方程是否有解的问题问题 ，若有解且满满足题题意则则存在，若有解但不满满足题题意或无解则则不存在热点突破【训练训练 4】 (2013北京卷改编编)如图图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为边长为 4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值值；(3)在线线
